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陶哲轩挑战失败的百年数学问题,被两名在家隔离的数学家破解了
2020/7/4 0:33:42 | 浏览:1280 | 评论:1

来自英国杜伦大学的Andrew Lobb,和波士顿学院的Joshua Greene这两位数学家,同样面临了这样的窘况。

上班是没法儿上班了,在家实在闲得无聊,他们只好翻了翻手里积攒的一堆数学问题,挑出了其中看上去最没有前途的一个——连陶哲轩都没有解决:

任何简单闭合环路,是否总能在其上找到四个点形成一个 任意长宽比矩形?

陶哲轩挑战失败的百年数学问题,被两名在家隔离的数学家破解了

谁曾想,几番视频连线在线脑暴之下,他们还真就解决了这个诞生于1911年的古老数学难题。

论文一共6页纸。

当他们把证明结果发表出来,布朗大学数学家Richard Schwartz赞叹:万万没想到,解决此问题的正确方式是这样的。

内接方形问题

这个问题,被称为 内接方形问题(或方形钉问题),源自1911年,妥妥的「百年老题」。

当时,德国数学家Otto Toeplitz预测称,任何简单闭合曲线,都包含四个可以连接形成正方形的点。

听上去像是个高中生能用尺子解决的问题。

可一百多年过去了,太多数学家前赴后继,一直也没能最终证明这个猜想。

华盛顿与李大学助理教授Elizabeth Denne感叹称:「这个问题说出来很容易,也很容易理解,但想要证明真的很难。」

但在这个过程中,数学家们给出的解题思路,也成为后继者实现突破的阶梯。

用莫比乌斯带解内接矩形问题

在1977年,数学家Herbert Vaughan首先在内接矩形问题上取得了突破,开创了一种思考矩形的几何形状的新思路。

证明方法大致如下。

首先,不把矩形看成四个相连的点,而是将其视作两对相互之间具有特定关系的点。

AC、BD这两对点之间,拥有共同的中点,并且AC = BD。

陶哲轩挑战失败的百年数学问题,被两名在家隔离的数学家破解了

也就是说,只要证明对于任意闭合环路,都能找到满足以上条件的两对不同的点,就能证明这样的曲线中矩形总是存在的。

而通过这样一个函数:f(A, B)= (x, y, z),就相当于能把一对点的中点和距离信息编码出来。

陶哲轩挑战失败的百年数学问题,被两名在家隔离的数学家破解了

截自3Blue1Brown视频

我们在中点画一个垂直于曲线平面的线段,线段长度等于两点之间的距离。

陶哲轩挑战失败的百年数学问题,被两名在家隔离的数学家破解了

这样一来,曲线内所有的点对就会构成一个曲面。这一曲面以环路为底,并且连续。

陶哲轩挑战失败的百年数学问题,被两名在家隔离的数学家破解了

那么,问题就变成了,如果这一曲面上存在交点,那必然是两对点中点相同,而且这两对点组成的两个连线长度相同。

这不就是矩形两条对角线交点的性质吗?由此就能证明矩形存在。

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Herbert Vaughan 发现,如果你在曲线上取一对点(x, y)并对其进行绘制,将会得到一个令人惊讶的形状: 莫比乌斯带

莫比乌斯带长这样,一个没有正反面的 二维神奇带子。

陶哲轩挑战失败的百年数学问题,被两名在家隔离的数学家破解了

要不,你试试找一下正面?

陶哲轩挑战失败的百年数学问题,被两名在家隔离的数学家破解了

言归正传,也就是说,莫比乌斯带上的一点和曲线上的一对点存在一一对应的关系。

陶哲轩挑战失败的百年数学问题,被两名在家隔离的数学家破解了

图源:QuantaMagazine

这时候,再把莫比乌斯带映射到 f(A, B)= (x, y, z)构成的三维曲面上。莫比乌斯带的边界就对应着平面上的环路。

而莫比乌斯带扭曲的特殊形状,决定了如果将其边界拍平放到二维平面中,自身必定会相交。

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这也就证明了,确实有两对不同的点,被映射到了三维曲面的同一点上。

至此,证明完毕,在三维空间中,任何闭合环路中,都至少存在这样四个点,能够构成一个矩形。

陶哲轩:用积分方法解决特定情况下的内接方形问题

另一位数学天才陶哲轩,则在这个问题上更进一步。

他用积分方法证明了,在曲线由两个常数小于 1 的 Lipschitz 图形组成的这种 特殊情况下,该曲线一定存在四个能组成正方形的点。

不过,这同样没有完全解决内接正方形问题。

陶哲轩挑战失败的百年数学问题,被两名在家隔离的数学家破解了

总而言之,对于平面上的任意简单闭合环路而言,矩形的存在已经得到了证明,但是否 任意长宽比的矩形(包括正方形)都能存在,此前的数学家们都没能解决。

而 Joshua Greene 和 Andrew Lobb 就在疫情期间,基于Herbert Vaughan的方法,将这个问题彻底解决了。

证明的思路是:

如果证明了存在任意长宽比的内接矩形,那么方形(长宽1:1的矩形)也必然是存在的。

如果证明了存在任意长宽比的内接矩形,那么方形(长宽1:1的矩形)也必然是存在的。

而且这一结论比陶哲轩想要证明的内接方形结论更强。

将莫比乌斯带嵌入四维空间

在正式的研究时,他们还参考了去年11月普林斯顿大学一位研究生 Cole Hugelmeyer的研究。

这个研究中,介绍了用「嵌入」法分析莫比乌斯带的方法。具体指:

假定一条 一维直线,每个点都只有 一个数字表示。

如果将这条直线放在 二维空间,比如xy平面上,那么直线上的每个点会由 两个数字表示,比如xy平面上的xy两个坐标。

以此类推,放在 四维空间里,就将有 四个数字来表示。

思路很好,但有一个问题——如何确定四维坐标?这是Cole Hugelmeyer研究的核心。

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按照Vaughan的思路,从莫比乌斯带上的一个定点开始。它所代表的原始封闭曲线上的两个点 (一对点),找到这对点的中点。

那么,这个中点有对应的x和y坐标,从而可以得出具体的坐标值。

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接着,测量闭环上两个原始点之间的 直线距离,可以得到第三个坐标。

陶哲轩挑战失败的百年数学问题,被两名在家隔离的数学家破解了

最后,将穿过两个原始点的直线 与x轴正方向的夹角作为第四个坐标。

陶哲轩挑战失败的百年数学问题,被两名在家隔离的数学家破解了

四个坐标确定了,那么莫比乌斯带在四维空间对应的任意一点都可以用这一坐标来表示。

就类似于在xy平面上向某一轴平移一样,只会改变其中一个坐标。

那么,将莫比乌斯带绕着中心点(a,b)随机旋转任何角度,只会改变最后一个坐标值,没有改变其他的性质。

由此,Hugelmeyer证明了大概有 三分之一的旋转会产生与原始图形的交集。

陶哲轩挑战失败的百年数学问题,被两名在家隔离的数学家破解了

也就意味着,可以找到三分之一的任意长宽比的矩形,问题并没有完全解决。

如果能够证明莫比乌斯带的 每一个可能的旋转,都会产生一个 交点,就等同于证明你可以找到 所有可能长宽比的矩形。

那剩下的三分之二呢?

如果将其嵌入四维空间是一个有效解决方法,那为啥只对三分之一的矩形有用呢?

Greene和Lobb眉头一皱,发现事情并不简单。讲道理,应该可以得到另外的 三分之二的矩形。

于是,他们就将目光放在 四维空间的构建上,既然此前的方法不行,那就试试 辛空间

「辛空间」的提出首次出现在19世纪的物理系统,比如轨道行星的研究。

陶哲轩挑战失败的百年数学问题,被两名在家隔离的数学家破解了

当行星穿过三维空间的时候,它的位置有 三个坐标来确定,但是随后有学者表示,在行星运动的每个点上,还可以放置一个代表行星动量的矢量。

于是,他们就开始尝试将二维的莫比乌斯带「嵌入」到四维辛空间中。

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而嵌入辛空间,就需要使用辛几何学的工具,而这其中很多工具都直接关系到空间如何相交的问题。

这个时候,有一个「克莱因瓶」帮助他们彻底解决了。

克莱因瓶长这样。

陶哲轩挑战失败的百年数学问题,被两名在家隔离的数学家破解了

克莱因瓶可以看做更高维度的莫比乌斯带,莫比乌斯带只有一条边,克莱因瓶只有一个面,它们都不分外面里面。

除此之外,它们还有这样一层关系——将 两条莫比乌斯带粘在一起就可以形成 一个克莱因瓶。

随后就发现,克莱因瓶根本不可能嵌入到四维辛空间中而不相交!

同时,他们又证明了,莫比乌斯带可以嵌入到四维辛空间中而不相交。

而在空间中旋转莫比乌斯带可以构造出一个一个克莱因瓶子。如果在这个过程中,莫比乌斯带不相交,那么就可以再四维辛空间中构造一个不想交的克莱因瓶。

这显然是与之前的结论是矛盾的。

所以旋转一个莫比乌斯带,旋转后的副本必然会和与原来的相交。

这意味着每一个封闭的光滑曲线必须包含四个点的集合,这四个点可以连接在一起形成所有长宽比的矩形。

问题得证!

关于作者

最后,来认识下这两位解决了百年数学难题的数学家吧~

一位是Andrew Lobb,本科就读于牛津大学,随后在哈佛大学攻读博士学位,目前在杜伦大学担任助理教授,同时也是日本冲绳科技大学Excellence Chair。

陶哲轩挑战失败的百年数学问题,被两名在家隔离的数学家破解了

另一位是Joshua Greene,先后在芝加哥大学、普林斯顿大学攻读硕士、博士学位,现在是波士顿学院教授。

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如果你想更深入地了解他们的证明细节,请收好下面的传送门~

证明论文链接:

https://arxiv.org/abs/2005.09193

Cole Hugelmeyer研究:

https://arxiv.org/abs/1911.07336

陶哲轩相关研究:

https://arxiv.org/abs/1611.07441

参考链接:

https://www.wired.com/story/in-lockdown-mathematicians-crack-a-stubborn-geometry-riddle/

https://www.bilibili.com/video/BV1rs411x7sb

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王晓明说:留言于2020-08-11 07:02:19(第1条)
数学家王元谈菲尔茨奖获得者陶哲轩的工作说到:“他们得到的结果几乎是一个不能想象的伟大成就,他们证明由素数构成的等差数列可以任意长,而且有任意多组。此前,4个数的素数等差数列可以有无穷多个的猜想都还没有证明。”【科学时报】

预备知识
全世界的数学定理的主项都是普遍概念或者单独概念,世界上没有任何一个数学定理的主项是集合概念。
概念的種類:
(1),單獨概念和普遍概念

a,單獨概念,反映獨一無二的概念,單獨概念的外延只有一個。例如,上海,孫中山,,,。數學中的單獨概念有“e”“Π”。“e是超越數”就是一個單獨概念的命題。

b,普遍概念,普遍概念反映的是一個對象以上的概念,反映的是一個“類”,這個詞項的內涵由為了包含在詞項外延所必須具有的事物的性質組成。
就是说,普遍概念的每一个个体必然具有这个概念的基本属性。例如:工人,無論“石油工人”,“鋼鐵工人”,還是“中國工人”,“德國工人”,它們必然地具有“工人”的基本屬性。數學中的普遍概念有例如“素數”,“合數”,等。“素數無窮多”就是一個普遍概念的命題。

(2),集合概念和非集合概念。
a,集合概念反映的是集合體,這個詞項的外延由詞項所應用的事物集合組成,例如“中國工人階級”,集合體的每一個個體不是必然具備集合體的基本屬性,例如某一個“中國工人”,不是必然具有“中國工人階級”的基本屬性。集合概念的命題是不需要證明的,也是無法證明的,只能是歸納總結。

b,非集合概念(省略)。

这是因为数学家的武器级别都是一个类,即:定理,公理都是普遍概念,只能攻击同样级别的命题主项。而“集合概念”是一群类,是一群普遍概念。就好比一个人不能打击战胜一群敌人。

陶哲轩的错误分析
陶哲轩论文标题:【存在任意长素数算术数列】。
主项是:“素数算术数列”,谓项是“任意长”。

一,主项错误
1,“素数算术数列”是一个集合概念。而所有的数学定理主项都是普遍概念或者单独概念。世界上没有任何一个数学定理的主项是集合概念。

2,构成主项的等差级数有以下内容:

素数构成的等差数列的“公差”有无穷多种,例如:
公差2(3和5),
公差4(7和11),
公差6(7和13),
....,
直至无穷。

3, 陶哲轩要想证明集合概念的“素数算术数列”有任意长,就必须逐一证明:
公差2的素数算术数列可以多长,
公差4的素数算术数列可以多长,
公差6的素数算术数列可以多长,
...........,
公差2n的素数算术数列可以多长(n指任意大的自然数)。
4, 如果陶哲轩想说的是:“无穷多种公差的素数算术数列中,至少有一种是无穷的或者有限的”,那么,只是一个特称判断,即:“有些A是B”,就不是定理,只是一个数学事实,数学不承认数学事实。特称判断暗含了一个“假定存在”的非逻辑前提。数学证明严禁引入非逻辑前提。所有的数学定理都是“一切A是B”的全称肯定判断。

二,谓项错误

“素数算术数列”是主项,不能是集合概念,论题的主项不合法;同样,陶哲轩论题的谓项“任意长”也是不合法。

构成谓项的素数等差数列“个数”有很多种,例如相差6的素数3个(7,13,19);还有4个(5,11,17,23),5个(5,11,17,23,29)等。
一个合理的全称肯定判断,全称判断主项“周延”(周延就是对全部外延断定),肯定判断谓项“不周延”。
陶哲轩的谓项 “任意长”显然是周延了,因为“任意”就包含了“一切”。
这是不合法(不符合逻辑)的论断,谓项不能超出主项合理承受的范围。


陶哲轩使用错误概念
陶哲轩论文中使用一个错误概念“殆素数”(almost prime),不仅仅是论文中,而且在参考文献中大量使用错误的论文。“殆素数”不是一个科学概念,因为科学概念必须符合:专一性,精确性,稳定性,系统性和可以验证性。“殆素数”不能在严格的数学证明中使用。
陶哲轩引用错误论文
陶哲轩论文中引用了许多错误论文,例如,引用了陈景润的错误文章。
陶哲轩缺乏基本语文常识
陶哲轩文章和标题连句子也不通,缺乏基本的语文常识。例如,陶哲轩的论文标题:存在任意长的素数算术级数,THE PRIMES CONTAIN ARBITRARILY LONG ARITHMETIC PROGRESSIONS就是一个病句。
例如,我们不能说“上海有50%的工人阶级都是男性”。因为,“工人阶级”是一个集合概念,前面不能用50%数量词限制。我们只能说“上海有50%的工人都是男性”。
 
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