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英国著名数学家迈克尔·阿提亚证明黎曼猜想?
英国著名数学家迈克尔·阿提亚证明黎曼猜想?
9/24/2018 7:05:18 AM | 浏览:595 | 评论:3

英国著名数学家迈克尔·阿提亚证明黎曼猜想?

英国著名数学家迈克尔·阿提亚证明黎曼猜想?

黎曼猜想

英国著名数学家迈克尔·阿提亚证明黎曼猜想?

就在刚刚,著名数学家迈克尔·阿提亚(Sir Michael Francis Atiyah)爵士终于向全世界展示了他“证明黎曼猜想”的过程。

英国著名数学家迈克尔·阿提亚证明黎曼猜想?

就在于海德堡举办的 Heidelberg Laureate Forum 上,阿蒂亚爵士作为第二位演讲嘉宾上场,成功让会议主办方的直播视屏流崩溃。阿蒂亚爵士开始演讲大概10分钟之后,主办方才在其官方推特账号上恢复直播。在阿蒂亚 45 分钟的演讲过程中,前 20 多分钟,这位数学家主要分享了一些数学史的内容,并解释了黎曼假说的本质及其与素数的相关性。而其中一些展示也显示了阿蒂亚爵士对此次证明信心满满,在一张片子中,他写道:“如果你证明了质数定理, 你将不朽"。

英国著名数学家迈克尔·阿提亚证明黎曼猜想?

英国著名数学家迈克尔·阿提亚证明黎曼猜想?

图 | 海德堡论坛上,阿蒂亚前半部分对数学史进行了一些介绍

之后,他才提到了黎曼猜想的主要证明过程。

在海德堡论坛上,阿蒂亚爵士提出了对黎曼猜想证明方法的一个简单思路。其灵感来源于阿蒂亚爵士在 2018 年 ICM 上提出精细结构常数(Fine structure constant)的推演,这是一个物理学上长期存在的数学问题。这一推演过程结合了冯·诺依曼的算子理论及希策布鲁赫创立并证明的代数簇黎曼-罗赫定理,还应用了Todd函数参与计算,而这个函数将是证明黎曼猜想的核心。阿蒂亚爵士称,他关于精细结构常数的相关论文已投稿至 Royal Society。介于这篇文章目前还未经过同行审议,一些学者对他的推演过程存疑,同样,也有学者对此次黎曼猜想的证明过程质疑。当然,还一些学者认为,阿蒂亚爵士的思路或为后续黎曼猜想证明提供了一种新思路。

英国著名数学家迈克尔·阿提亚证明黎曼猜想?

而在提到关于证明黎曼猜想的具体细节时,阿蒂亚爵士并未做出证明的全部工作,其思路基于一个物理上未被完全证明的常数,更多是就自己未尽的事业向数学界的后辈们提出了四点建议。首先,要运用如今最强大的工具,这里的工具不仅限于数学工具,还包括超级计算机甚至是量子计算机,还有其他领域例如物理学界、逻辑学界等的工具;其次,借鉴其他著名猜想,不管是证明了的还是未证明的;其三,需要判断哪些难题是能够高效率完成计算的;最后,老爷子觉得RH已经是很难的一个猜想了,证明出其一部分就已经很了不起了,他希望数学界的后辈们能权衡一下,哪些黎曼猜想的方面是我们有时间完成的,做出决定就无悔地去做吧!

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图 | 海德堡论坛上阿蒂亚爵士的一些证明过程细节

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图 | 阿蒂亚爵士对未来数学家的一些建议

这一结果似乎并不出乎意料,其实早在一些论坛上,学者对此次黎曼猜想的证明就不看好。在演讲正式开始前,一份谷歌云盘中的预印本文件已在网上疯传。预印本文章仅有5页纸,证明过程如他提交给海德堡论坛的摘要所说十分简单。一些网友表示,在去年的国际数学大会(ICM)上,阿蒂亚爵士就曾出现令人尴尬的场面。甚至有人表示了对阿蒂亚爵士处境的隐隐担忧。也有一些网友调侃,用 20 美元打赌此次证明是错的。

预印本地址:

https://drive.google.com/file/d/17NBICP6OcUSucrXKNWvzLmrQpfUrEKuY/edit

附全文截图:

英国著名数学家迈克尔·阿提亚证明黎曼猜想?

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黎曼猜想证明:现场QA陷尴尬,学界评价悲观(附高清视频+PPT)

错过了昨日 Michael Francis Atiyah 爵士的直播?没关系,这里有高清视频与完整 PPT。经过一天的发酵,关于阿蒂亚爵士此次黎曼猜想的证明,各方评价开始出现。

昨日,一场盛况空前的宣讲引爆了数学圈,89 岁的阿蒂亚爵士对黎曼猜想的证明吸引了全球的关注。也因为关注人数过多,现场直播「车祸」不断:官方直播流崩溃,组织方不得不改用手机直播。

前期的手机直播质量奇差,声音和 PPT 内容都不清晰,导致一些读者(包括我们)漏掉了许多内容。

数小时前,Heidelberg Laureate Forum 2018 官方终于在 YouTube 上放出阿蒂亚爵士的高清演讲视频,短短数个小时已经有近 5 万次观看。

英国著名数学家迈克尔·阿提亚证明黎曼猜想?

言归正传,YouTube 视频存在一个问题:PPT 画面太小,看不到其中内容。读者们可以从以下链接回到阿蒂亚爵士视频直播的界面,切换 PPT 与人物界面,查看高清 PPT 内容:

英国著名数学家迈克尔·阿提亚证明黎曼猜想?

PPT 链接:https://hitsmediaweb.h-its.org/Mediasite/Play/35600dda1dec419cb4e99f706197a3951d

关于阿蒂亚爵士的证明

黎曼猜想关注的是素数分布的问题,而素数指的是在大于 1 的自然数中,除了 1 和该数自身外,无法被其他自然数整除的数。之所以素数这么重要,是因为它在密码学中有非常广泛的应用,我们需要很大的素数作为分解质因数的元素才能保护信息。但是很快人们就发现,素数是没有分布的,也就是说,我们无法根据某个分布寻找非常大的素数,素数是随机的。

如果黎曼猜想被证明是正确的,那么它就表明素数没有什么突出的规律,也就是说它们几乎具有均匀的随机性。如果黎曼猜想得到证明,它可以说是验证了从 1 到 n 中平均有 N/ln(N)个素数,因此素数基本上是按照 N/ln(N)的均匀分布。注意这里的 N/ln(N)只是代表我们机器学习中常见的数学期望,并不能说确切地等于 N/ln(N)个素数。总之如果 Atiyah 证明了黎曼猜想,那么素数还必须服从大数定理,这可能对于统计学和机器学习的研究能有一些帮助。

Atiyah 的证明从理解物理学中的精细结构常数 α 出发,并发现依靠新的函数 T(s)(也就是 Todd 函数),我们可以解决或至少为解决各种广泛的问题提供新方向,包括黎曼猜想。在整个演讲中,Atiyah 首先介绍了复数的不可交换延伸:四元数(Quarternions)、复数、扩展欧拉公式到四元数(Euler-Hamilton 公式)这些基础概念,它们是进一步提出新工具和证明方法的前提。

随后 Atiyah 重点介绍了证明黎曼猜想的核心新工具,即 Todd 多项式函数,借助这一函数与指数的无限迭代,我们可以理解精细结构常数 α 并尝试最终的黎曼猜想证明。其中精细结构常数 α 是物理学中的无量纲常数,它展示了原子物理学中原子谱线分裂的样式。

对于证明黎曼猜想的核心 Todd function T(s)函数,Atiyah 在文档中给出了一些有趣的属性:

  • T 是实数,即 T(s¯ )= T(s)¯;
  • T(1)= 1;
  • T 会将临界带映射到临界带,临界线映射到临界线。

Atiyah 将 Todd 函数称为弱解析函数,这意味着它是解析函数族的弱限制。所以对于任何复数中的紧致集 K,T 都是解析的。如果 K 是凸集,那么 T 是自由度为 K(k)的多项式函数。Todd 函数同样是复合的,即弱解析函数的解析函数还是解析函数。

对于如何借助 Todd 函数证明黎曼猜想,读者还是研读那一页 PPT 吧:

英国著名数学家迈克尔·阿提亚证明黎曼猜想?

这就是阿蒂亚爵士证明黎曼猜想的一页 PPT

尴尬的 QA 环节

在阿蒂亚爵士 45 分钟宣讲结束后,组织方安排了问答环节。但人气爆棚的现场到了 QA 环节却一度陷入尴尬:主持人强调不要害羞、大胆提问,但却无人应答,阿蒂亚爵士唯有扬手「come on」。

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冷场近一分钟,一位印度口音的的小哥(来自人工智能领域,非数学背景)提出了第一个问题:是否解决了黎曼猜想?

阿蒂亚回应说,「这是由你的逻辑决定的。原始的黎曼猜想我是证明了,除非你是那种不接收反证法的数学家。」

他表示,人们倾向于接受直接事实,但我们的一些定理是反证法证明的,所以我认为我可当此荣誉。但他也补充说,其证明没有解决所有问题,后续还有很多问题,自己只是走了第一步(第一步就是解决方案),现在可以退休了。

第二个问题:什么时候可以查看公开证明?

阿蒂亚表示,其实他已经写了多篇论文,最长的一篇是关于精细结构常数。但发表不易,因为到了他这个年纪,人们(杂志)就不再发表他的论文,年纪太大了,而且肯定有错。

但论文是可以看到的。一份是关于精细结构常数的,另一份正是昨天上午流传的「5 页预印版」论文。

阿蒂亚爵士也解开了这两份论文为什么用谷歌文档这样不正式的方式传播,「我甚至提交到了 arXiv 上,但它们不接收。」(尴尬)年龄歧视啊!

第三个问题:你曾说没人相信黎曼猜想的任何证明,因为没人证明了它。你认为人们会相信你吗?或者说你不在乎?

阿蒂亚说他确实在乎相信此证明的人,因为有人曾说过数学或者科学一般涉及两个步骤:创造与传播。如果你不宣传自己的想法,就没人知道。此外,一般人们不相信证明可能是因为它是全新的想法。

学界反应悲观

在阿蒂亚的简短证明播出之后,学界对此评价稍显冷淡。人们纷纷表达了对于证明黎曼猜想的悲观看法,同时也表示了对阿蒂亚以往巨大贡献的尊敬。无论如何,这种复杂的感情似乎在告诉数学圈外的我们:人类距离搞清楚这一「世纪猜想」还有一段距离。

「他在演讲中所展示的内容几乎不可能成为能够证明黎曼猜想的任何证据,」来自挪威科技大学的经济学家 Jørgen Veisdal 表示,他此前也曾研究过黎曼猜想。「他的证明太过模糊,也太不具体了。」Veisdal 表示,他还需要更仔细地研究目前的证明,以得出更加明确的判断。

《Science》在这位著名数学家演讲后联系到了他的几位同事。他们对于当事人给出的、基于不可靠关联而得出的结论感到担忧,并表示这次证明黎曼猜想的努力最终未能成功。但目前,因为顾及到关系,还没有同事或学生愿意公开提出批评。

加州大学河滨分校(University of California, Riverside)的数学物理学家 John Baez 是少数几个愿意对阿蒂亚的主张发表批评意见的人之一。「该证明只是将一个大胆的主张叠加在另一个之上,没有任何关联的论证和真正的证据。」Baez 说道。

对于各方的批评,阿蒂亚早有预料。他在演讲之前的一封电子邮件中就表示:「演讲的观众中会有睿智的年轻学者,以及经验丰富的老科学家。我要做的是把自己抛入狮群之中,希望能够全身而退。」

在数学论坛 MathOverflow 上,人们对于阿蒂亚爵士的证明也普遍持悲观态度。Todd Trimble 表示:「在过去的五十多年里,阿蒂亚为数学界所做的贡献无人能出其右,但今天他的证明『甚至不能说它是错误(not even wrong)』。正是出于这个原因,鉴于他的划时代贡献,他应该获得足够的尊严。」

也就是说,一些学者认为阿蒂亚的证明思路成功的概率很低,同时也没有经过完整的证明(至少目前还没有公开细节),从而谈不上探讨正确与错误。

又有知乎网友称,今天早上,清华大学数学系前系主任肖杰在一节代数课上对阿蒂亚的证明给出了自己的评价:「如果他那是对的,数学就完蛋了。」

尽管如此,人们还是表达了对于这位「二战后最强数学家」的敬仰之情:「He's still my hero.」

 

“黎曼猜想”被证明? 学者:未看到有分量的评价(图)

 

英国著名数学家迈克尔·阿提亚证明黎曼猜想?

  一页PPT证明黎曼猜想

  据中国之声《新闻纵横》报道,159年前,德国数学家黎曼在题为《论小于给定数值的素数个数》的论文中提出的“黎曼猜想”,一直以来被视作“纯数学领域最重要的问题之一”。尽管无数一流数学家向证明黎曼猜想发起冲击,却无一人能成功——不过就在昨天(9月24号),著名数学家、菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主阿蒂亚爵士或将成为这样一个划时代的人物。

  德国海德堡当地时间9月24号上午,阿蒂亚爵士作为海德堡论坛第二位宣讲嘉宾,公布了他对黎曼猜想的证明。他表示,自己基于冯·诺依曼、希策布鲁赫和狄拉克 等人的成果,使用一种“简单而全新”的方法证明了黎曼猜想,引发了全世界数学家们的关注。

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  Michael Atiyah 介绍了素数研究的历史以及素数与黎曼猜想的关系

  45分钟证明演讲中,有30分钟介绍历史 

  长期关注人工智能、机器学习领域的垂直媒体“机器之心”昨天全程记录了阿蒂亚爵士在论坛上有关黎曼猜想的宣讲直播。机器之心联合创始人、副主编李亚洲向中国之声介绍说,在9月24号的海德堡获奖者论坛上,最受关注的可能就是阿蒂亚爵士黎曼证明的宣讲了,也因为看直播的人数太多,导致官方直播流崩溃,组织方不得不改用手机直播。其实整个45分钟演讲中,阿蒂亚花了近30分钟的时间介绍历史:素数、黎曼猜想的历史。中间他也开玩笑说,如果你解决了黎曼猜想,你会出名,但如果你已经是个名人,(解黎曼猜想)那就会有声名狼藉的风险”。

  因此,可以看出,虽然已经89岁高龄,但阿蒂亚爵士一直在自己的领域努力着。也许,这其实也是阿蒂亚爵士今天想传达的精神。

  “这个证明的对与错现在还不明确”


  在介绍完历史之后,他就开始介绍Todd函数以及最核心的一页PPT(也就是Todd函数如何帮助证明黎曼猜想的PPT)。阿蒂亚爵士对证明思路的介绍并没有多少,以至于直播间有人调侃30分钟历史介绍,一页PPT证明。最后,阿蒂亚爵士给后辈们提供了建议:就是最后一张PPT提到的四个建议,包括运用如今最强大的工具;验证所有著名的猜想(无论是证明过的还是未证明的);判断出哪些难题可高效计算出;以及决定哪些难题是有时间做的。

  整个直播过程中,Twitter上、直播间中的实时讨论与评价,这个证明的对与错现在还不明确,可能经过一段时间的发酵能看的更清楚。

  
英国著名数学家迈克尔·阿提亚证明黎曼猜想?

  黎曼ζ 函数

  黎曼猜想到底是啥 

  黎曼猜想是关于素数,又叫质数的问题,是为了研究素数分布规律。“一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能整除其他自然数的数叫做素数”——这个概念相信很多人第一次接触是在上小学的时候。虽然定义简单且容易理解,但是数学家们却为寻找一个更为精确地表达公式而不断努力。

  德国数学家黎曼在《论不超过一个给定值的素数的个数》中提出:素数的分布奥秘与一个复杂的函数密切相关,他在文中定义了一个被后世成为“Zeta”的无穷极函数。黎曼猜测,可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上,这条线被称为临界线。这就是令后世数学家魂牵梦绕却辗转反侧的“黎曼猜想”。

  物理学博士、科普作家卢昌海这样解释:“黎曼当年提出一个猜想,就是黎曼Zeta函数的所有的非平凡零点都正好排在复平面上的一条直线上,那么这条直线被称为临界线。虽然表面上看只是关于一个复平面函数的猜想,实际上它是跟素数分布有非常密切的关系。”

  黎曼猜想若被证明将增加一千多条数学定理

  数学界的知名难题——黎曼猜想到底有多重要?卢昌海告诉中国之声记者:“现在数学界有超过一千条数学命题,它是以黎曼猜想的成立为前提的,也就是说它的表述都是‘假如一旦猜想或者他的某种广义形式成立,那么我们可以有这样一个结果’。黎曼猜想如果被证明,那么数学上几乎一夜之间就可以增添一千多条定理——因为那些原来是有条件成立的命题,就全都变成定理了。如果黎曼猜想被证伪的话,那么估计就是一千多条(定理)里面,其中有一些也就不会成立了。所以反方面的影响也是比较大的。那么对现实应用来说,目前据我所知并没有什么特别的影响,主要是对纯数学。”

  “世纪之谜”黎曼猜想如何证明?核心论点是什么?在宣讲现场,阿蒂亚爵士仅仅寥寥数页PPT进行了阐释。此前有很多人猜测,阿蒂亚爵士会使用量子力学来证明黎曼猜想,但在演讲中他表示证明黎曼猜想的是一个名为Todd的函数。那么黎曼猜想被证明后,有何用处?阿蒂亚爵士的回答是,黎曼猜想能推广到多种情况,并且一步步得到证明,它的证明对年轻的数学、计算机科学、逻辑学和物理学研究者非常重要。

  物理学博士:尚未看到有分量的专家评价

  根据深科技的报道,阿蒂亚爵士称,他关于精细结构常数α(念阿尔法)的相关论文已投稿至英国皇家学会。介于这篇文章目前还未经过同行审议,一些学者对他的推演过程存疑。同样,也有学者对此次黎曼猜想的证明过程质疑。当然,还一些学者认为,阿蒂亚爵士的思路或为后续黎曼猜想证明提供了一种新思路。

  虽然历史上也有人曾宣称自己“证明了黎曼猜想”,但是最终都被发现存在严重的漏洞。如何才能真正证明黎曼猜想?卢昌海昨晚文字回复中国之声记者称,虽然具体方法可以千变万化。如果是证明黎曼猜想不成立,则相对“简单”些,举出一个反例亦可达到目的。

  阿蒂亚结束演讲后,现场响起了热烈掌声,然而论证本身最终能否经得起考验,还得通过专家们的苛刻审核。物理学博士、科普作家卢昌海表示,目前尚未看到有分量的专家评价——但考虑到阿蒂亚爵士的身份,如果专家认为这一报告完全不构成证明,出于对爵士的敬重他们或许会保持缄默。
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wxmwrkhp说:留言于2018-09-26 02:31:12(第3条)
迈克尔阿蒂亚的证明错误百出

阿蒂亚的证明只有短短的五页纸!其中证明只有15行!可真的有那么简单吗?阿蒂亚在第二节定义的TODD函数就不靠谱,而这恰恰是证明的关键所在。

阿蒂亚是用了一个TODD函数的公式,假定有与黎曼猜想矛盾的点存在,这个公式是收缩的,那么就可以把一个个点代入这个公式,如果没有一个点成立,那么他就证明了黎曼公式。

阿蒂亚的证明属于无效格,并且违反了逻辑规则

第一,阿蒂亚的“证明”在形式上也是错误的,根据演绎推理三段论的逻辑规则:

1,在两个否定的前提中不能得出结论,。

2,如果大前提是特称判断,小前提是否定判断,不能得出结论。

3,前提中有一个是特称判断,那么结论必须是特称判断。

4,前提中如果有一个是否定判断,那么结论中必须是否定判断。

5,在前提中不周延的概念,在结论中不得周延。

6,中项在两个前提中至少周延一次。

7,三个不同性质判断中,只能有三个不同的概念。


阿蒂亚企图证明:

大前提:有一个否定黎曼猜想的点存在(特称否定判断)。

小前提:这个点不存在(否定判断)。

结论:黎曼猜想成立(全称肯定判断)。

阿蒂亚的企图违反了上面所说的逻辑规则:
1, 2, 3, 4,、、、。

三段论有256个可能式,有效式只有24个。
例如:
第一格有 AAA; AII; EAE; EIO;EAO;AAI。
第二格有AEE; EAE;AOO;EIO;AEO;EAO。
第三格有AAI;AII;EAO;EIO;IAI;OAO.
第四格有AAI;AEE;EAO;EIO;IAI;AEO.

而迈克尔阿蒂亚的格OOA属于无效格。

这样的证明没有价值。
错误在----假定

1,假定。只能用在否定结果的证明中,例如,欧几里得证明素数无穷多个;或者费马无穷递降法。

假定a成立,可以推出b,得到c,c与a矛盾,所以假定的a不能成立,得到非a。

2,假定不能用在肯定的结论。假定a,可以推出b,得到c,c包含a,所以假定的a成立。(这个就是预期理由的错误)

3,为什么“假定”只能用于否定的结论,而不能用于肯定的结论?

一个对科学理论更强的逻辑制约因素是,它们是能够被证伪的。换一句话说,因为以后能够被观测作有意义的检验,理论一定有被证伪的可能性。这种证伪的判据是区分科学与伪科学的一种方法。原因在于证实的内在局限性,证实只能增加一个理论的可信度,却不能证明整个理论的完全正确。因为在未来的某一个时刻,总是会发现与理论有冲突的事例。



现在我们问:阿蒂亚证明的黎曼猜想是否成立呢?

1,阿蒂亚证明黎曼猜想成立,就是说他假设的那个“点”被证明没有,假设是建立在预期理由上,违反逻辑。

2,阿蒂亚证明了黎曼猜想不成立,有那一个“点”存在,就是说阿蒂亚找到了反例,那么根本不需要什么在证明,指出反例就可以了。可是,阿蒂亚没有找到反例。

wxmwrkhp说:留言于2018-09-25 09:35:07(第2条)
迈克尔阿蒂亚的证明在逻辑形式上也是错误的
阿蒂亚昨天的证明只有短短的五页纸!其中证明只有15行!可真的有那么简单吗?阿蒂亚在第二节定义的TODD函数就不靠谱,而这恰恰是证明的关键所在。
阿蒂亚是用了一个TODD函数的公式,假设有与黎曼猜想矛盾的点存在,这个公式是收缩的,那么就可以把一个个点代入这个公式,如果没有一个点成立,那么他就证明了黎曼公式。

阿蒂亚的“证明”在形式上也是错误的,根据逻辑规则:1,在两个否定的前提中不能得出结论,2,如果大前提是特称判断,小前提是否定判断,不能得出结论。3,其他、、、。

阿蒂亚企图证明:

大前提:有一个否定黎曼猜想的点存在。

小前提:这个点不存在

结论:黎曼猜想成立。

阿蒂亚的企图违反了上面所说的逻辑规则。

好比说:

大前提:有一个否定“男人都有一个y染色体”个体(即“没有y染色体的男人”)存在,

小前提:不存在这样的男人

结论:所有的男人都有一个y染色体。

这样的证明没有价值。
wxmwrkhp说:留言于2018-09-25 09:29:26(第1条)
迈克尔阿蒂亚对黎曼猜想的证明错误百出

阿蒂亚的证明只有短短的五页纸!其中证明只有15行!可真的有那么简单吗?阿蒂亚在第二节定义的TODD函数就不靠谱,而这恰恰是证明的关键所在。
阿蒂亚是用了一个TODD函数的公式,假定有与黎曼猜想矛盾的点存在,这个公式是收缩的,那么就可以把一个个点代入这个公式,如果没有一个点成立,那么他就证明了黎曼公式。

错误在----假定

1,假定。只能用在否定结果的证明中,例如,欧几里得证明素数无穷多个;或者费马无穷递降法。
假定a成立,可以推出b,得到c,c与a矛盾,所以假定的a不能成立,得到非a。

2,假定不能用在肯定的结论。假定a,可以推出b,得到c,c包含a,所以假定的a成立。(这个就是预期理由的错误)

3,为什么“假定”只能用于否定的结论,而不能用于肯定的结论?
一个对科学理论更强的逻辑制约因素是,它们是能够被证伪的。换一句话说,因为以后能够被观测作有意义的检验,理论一定有被证伪的可能性。这种证伪的判据是区分科学与伪科学的一种方法。原因在于证实的内在局限性,证实只能增加一个理论的可信度,却不能证明整个理论的完全正确。因为在未来的某一个时刻,总是会发现与理论有冲突的事例。

现在我们问?阿蒂亚是证明了黎曼猜想是否成立呢?
1,阿蒂亚证明黎曼猜想成立,就是说他假设的那个“点”被证明没有,假设是建立在预期理由上,违反逻辑。
2,阿蒂亚证明了黎曼猜想不成立,就是有那一个“点”存在,就是说阿蒂亚找到了反例,那么根本不需要什么在证明,指出反例就可以了。可是,阿蒂亚没有找到反例。
 
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