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你绝对没想过原来数学家这么流氓,一言不合就进行暴力证明
你绝对没想过原来数学家这么流氓,一言不合就进行暴力证明
来源:数学建模 | 8/26/2019 6:44:08 AM | 浏览:304 | 评论:0

最经典的“无字证明”

1989 年的《美国数学月刊》(American Mathematical Monthly)上有一个貌似非常困难的数学问题:下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘,现在请你用右边的三种(仅朝向不同的)菱形把整个棋盘全部摆满(图中只摆了其中一部分),证明当你摆满整个棋盘后,你所使用的每种菱形数量一定相同。

你绝对没想过原来数学家这么流氓,一言不合就进行暴力证明

文章末尾提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色,整个图形瞬间有了立体感,看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面,它们的数目显然应该相等。

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严格地说,这个本来不算数学证明的。但它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起,实在让人拍案叫绝。

因此,这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广,深受数学家们的喜爱。《最迷人的数学趣题——一位数学名家精彩的趣题珍集》(Mathematical Puzzles:A Connoisseur's Collection)一书的封皮上就赫然印着这个经典图形。在数学中,类似的流氓证明数不胜数,不过上面这个可能算是最经典的了。

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旋轮线的面积

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车轮在地上旋转一圈的过程中,车轮圆周上的某一点划过的曲线就叫做“旋轮线”。在数学和物理中,旋轮线都有着非常重要而优美的性质。比如说,一段旋轮线下方的面积恰好是这个圆的面积的三倍。这个结论最早是由伽利略(Galileo Galilei,1564-1642)发现的。不过,在没有微积分的时代,计算曲线下方的面积几乎是一件不可能完成的任务。伽利略是如何求出旋轮线下方的面积的呢?

他的方法简单得实在是出人意料:它在金属板上切出旋轮线的形状,拿到秤上称了称,发现重量正好是对应的圆形金属片的三倍。

在试遍了各种数学方法却都以失败告终之后,伽利略果断地耍起了流氓,用物理实验的方法测出了图形的面积。用物理实验解决数学问题也不是一件稀罕事了,广义费马点(generalized Fermat point)问题就能用一套并不复杂的力学系统解出,施泰纳问题(Steiner tree problem)也可以用肥皂膜实验瞬间秒杀。

欧拉的流氓证明法

在数学史上,很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。最典型的例子可能就是 1735 年大数学家欧拉(Euler)的“证明”了。他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值,并且给出了一个漂亮的解答:

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这是一个出人意料的答案,圆周率 π 毫无征兆地出现在了与几何完全没有关系的场合中。欧拉的证明另辟蹊径,采用了一种常人完全想不到的绝妙方法。

他根据方程 sin(x)/x = 0 的解,对 sin(x)/x 的级数展开进行因式分解,再利用对比系数的方法神奇地得到了问题的答案。

不过,利用方程的解进行因式分解的方法只适用于有限多项式,在当时的数学背景下,这种方法不能直接套用到无穷级数上。

虽然如此,欧拉利用这种不严格的类比,却得出了正确的结果。欧拉大师耍了一个漂亮的流氓。

国际象棋上的多米诺骨牌

在一个8×8的国际象棋棋盘上,我们可以用32张多米诺骨牌(是两个相连正方形的长方形牌)覆盖整个棋盘上的64个方格。如果将对角线上的两个方格切掉,剩下来的62个格子还能用31张骨牌覆盖住吗?

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答案是不能的。每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格,一白一黑。所以31张骨牌应该可以盖住31个黑格和31个白格。而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色,另一种颜色是30个,因此是不能被31张骨牌覆盖的。

但是如果我们切掉的不是颜色相同的两个呢?假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的方格,那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住?我可以告诉你这是一定能做到的,并且关于这个结论,存在一个非常漂亮的证明。建议读者在继续往下阅读前,可以先自行思考如何证明这个结论。

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上图就是那个漂亮的证明。不妨对它再赘述两句。粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线。从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格,会让这个封闭线路变成两段线路(如果切掉的方格是相连的,那就是一条线路)。在这两段(或一段)线路中,两种颜色的格子数量都是偶数,故分别都可以被若干张骨牌覆盖。从而证明整个棋盘可以被31张骨牌完全覆盖。

这个著名的棋盘问题是数学游戏大师马丁•加德纳提出的,而上述精妙绝伦的证明则是数学家哥莫瑞(Ralph Gomory)找到的。它们后来被收录在《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》这本书里。

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