群上随机游走是一类特殊的马尔可夫链，与群的性质密切相关，是几何群论中近年来热门的研究问题之一。它的 Martin边界是一个抽象的拓扑边界，可用来表示群上全体正调和函数。几何的或者组合的描述 Martin边界因而是一个基本而（相比较泊松边界而言）困难的问题。杨文元与合作者把双曲群中的 Ancona不等式拓展到了任意有限生成群上有限支撑的随机游走中，并籍此证明了存在一个 Martin边界到群的几何边界称为 Floyd边界之间的连续满射。该结果应用到相对双曲群上得到该满射在至多可数个点外是单射，从而 Martin边界归结为这可数点原像的刻画。相对双曲群是非常广泛的带有负曲率特征的群，包含体积有限负曲率流形的基本群等。

杨文元老师在上课

杨文元于2014年加入北京大学，任北京国际数学研究中心研究员。他2011年于法国里尔科学技术大学获数学博士学位。2011年至2013年在法国做博士后研究。2013年入选中组部第五批“海外高层次人才引进计划（青年项目）”。他的主要研究领域包括几何群论和低维拓扑。几何群论是当今一个非常活跃的数学前沿研究分支，与低维几何与拓扑、度量空间上的分析、动力系统、代数拓扑、群上代数几何等研究领域有诸多交叉，尤其近30年来产生了许多重要成果，获得了国际数学届的高度重视，例如2018年 ICM大会中几何和拓扑主题下有4个报告与几何群论直接相关。几何群论在国内主要集中于低维几何拓扑的研究，与其他研究方向的联系还有待加强。