2021年4月18日是爱因斯坦（Albert Einstein，1879.3.14—1955.4.18）逝世66周年纪念日。爱因斯坦是历史上最伟大的科学家之一，关于他有着许多真假难辨的故事。其中一个广为流传的说法称，爱因斯坦是左撇子。

　　

　　然而，现有的大量照片和影像表明，爱因斯坦更习惯使用右手。

　　

　　1921年，爱因斯坦在维也纳，图源：维基百科

　　

　　爱因斯坦在黑板上写下广义相对论中的一个公式，图源：Holden Luntz Gallery

　　

　　爱因斯坦拉小提琴，图源：theconversation.com

　　以上三张爱因斯坦的照片中，都包含了一些文字，据此可以看出照片并未经过翻转。正如我们从日常经验中所知，如果把照片翻转一下，左右就会颠倒。在今年的春节晚会里，有一个小品《一波三折》，其中就有这样的情节：

　　　　然而，大自然不是照片。在自然界中，要实现左右颠倒，并没有那么容易。上帝对左右是有偏好的。（本文中的“上帝”指的是爱因斯坦所说的“斯宾诺莎的那个在存在事物的有秩序的和谐中显现出来的上帝”，即自然规律。）我们今天要讲的，就是几何学上的左右颠倒，以及大自然对左右的偏爱。

　　左手系和右手系

　　在亚瑟·克拉克（Arthur Clarke，1917—2008）1950年发表的短篇小说《技术故障》中，一位不幸的工程师在一次实验事故中身体出现了左右颠倒。左手变成右手，右手变成左手。在这个故事里，导致左右颠倒的原因是在四维空间里的翻转。

　　他停顿片刻，等这些话渗进他们的脑子里，没有人提出疑义，他便继续讲下去：

　　“现在，如果我把一个三角形拿起来，在空中翻个个儿再放下，他们俩就不再是镜面对称了，而是成为了完全一致——像这样。”他演示了一遍，“这种方法似乎非常简单，确实如此。但是它却给我们上了至关重要的一课。桌上的三角形是限制在二维空间的平面图形，要是一个变成另一个的镜像，我必须拿起它，在第三维中旋转。明白我的意思吗？”

　　他环视一下众人。一两个董事脸上透出第一线领悟的曙光，迟疑着点了点头。

　　“同样道理，为了让一个三维物体，例如一个人，变成他的相对物即镜像，就得把他在第四维空间中翻转。重复一下——第四维空间。”

　　——亚瑟·克拉克短篇小说《技术故障》节选，朱丽 译

　　怎么理解这一现象呢？我们得从坐标系的左右讲起。

　　首先看一条水平直线。我们在上面放一个朝右的箭头。如果箭头只限制在这条直线里移动，那么它永远是指向右方。但如果我们在平面上把箭头旋转180°，它就会变成指向左方。

　　

　　在二维平面的笛卡尔坐标系中，x轴和y轴垂直。我们通常让x轴指向右方，y轴指向上方。这就是“右手坐标系”或者简称“右手系”，初中数学课里学到过。

　　

　　
但也可以让x轴指向左方，y轴指向上方，这就是“左手坐标系”或者简称“左手系”。左手系可以看作是右手系的镜像。

　　

　　
实际运用时，我们经常会让坐标系旋转，这样x轴不一定指向右方，y轴也不一定指向上方。这种情况下可以用“右手定则”来定义右手系和左手系：让右手大拇指垂直于平面，其余四指从x轴旋转90°到y轴，如果这一过程中大拇指朝向观察者所在的一侧，那么这个坐标系就是右手系。反之则是左手系。

　　

　　可以看出，如果开始的坐标系是右手系，把x轴和y轴互换，就得到左手系。这是因为我们四指旋转的方向是从x轴到y轴，x轴和y轴互换后四指旋转的方向发生改变。

　　

　　
另外一种把右手系变成左手系的方法是把x轴和y轴中任意一个的方向改成与原来相反的方向。但如果同时改变两个轴的指向，得到的还是右手系。

　　

　　
我们可以把右手坐标系想象成两个互相垂直的箭头。如果只是限制在平面内部平移或者旋转，右手坐标系永远都还是右手坐标系，不会变成左手坐标系。

　　

　　但如果在三维空间里绕着y轴旋转180°，右手系就会变成左手系。

　　

　　为了理解这个过程，我们可以看到，y轴在这个过程中是不改变的。旋转180°后，仅仅是x轴的指向变成了原来相反的方向。正如我们前面所说，因为x轴的方向变成与原来相反，所以得到左手系。

　　在三维空间里也有左手系和右手系之分。我们伸出右手的大拇指、食指、中指，让它们互相垂直。让x轴的方向跟大拇指重合，y轴的方向跟食指重合，如果这时z轴的方向跟中指重合，那么这个坐标系就是右手坐标系。高中数学课本里采用的就是右手系。同样地，可以用左手的三个指头来定义左手坐标系。

　　

　　图源：www.oreilly.com

　　
另外一种判断右手系的办法是右手定则：除大拇指外的右手四指从x轴旋转90°到y轴，如果这一过程中大拇指的指向是z轴的方向，那么就是右手系。

　　

　　
类似于平面坐标系，把任何两个坐标轴互换后，右手系变成左手系。同样地，把x轴、y轴、z轴中任意一个的方向改成与原来相反的方向，那么就得到左手系。但如果同时改变两个轴的指向，得到的还是右手系。读者可以想一想，同时改变三个轴的指向会得到左手系还是右手系呢？

　　

　　
对于三维空间里的右手系来说，如果只限制在三维空间里平移或者旋转，右手系永远是右手系；但如果能够在四维空间里旋转180°，右手系就会变成左手系。我们可以这样看：在四维空间中，多了一个新的坐标轴w轴。把三维的坐标系围绕着xy平面旋转180° ，x轴和y轴在这个过程中都不改变，仅仅是z轴在zw平面里旋转到了跟原来相反的方向。所以右手系变成左手系。

　　

　　图中z轴和w轴在旋转过程中使用虚线表示，因为它们此时在三维空间中不可见

　　
在克拉克小说《技术故障》里，因为实验事故，工程师的身体在四维空间里被翻转了，左手系和右手系互换，自然就出现左右颠倒的现象。

　　流形与定向

　　科幻小说里，还有另外一种左右颠倒的场景。上世纪九十年代，笔者是《科幻世界》的忠实读者。当时笔者非常喜欢绿杨老师写的“鲁文基探案”系列，其中主角是鲁文基教授和他的助手梅丽，每篇故事都是用科学知识侦破一个小小的案件。这一系列的首篇是《鸟巢里的笑声》，里面的核心科学内容是一位宇航员帕凯，到宇宙深处旅行一圈回来后，身体出现了左右颠倒。

　　

　　科幻小说作家绿杨，本名李钜康，1934—2010，图源：飞腾科幻军团

　　梅丽说：“警察在追捕一个人，又和你一模一样，左边也有颗金牙。你还有什么说的？”
“那不是我！我金牙在右边。”帕凯把手指伸进嘴里一摸，咦了一声，金牙的确在左边！帕凯自己也糊涂了。但是，教授也开始糊涂起来，证件上明明白白写着在右边，怎么跑到左边去了呢？愣了半天才说：“小梅，他也许不是逃犯。他在宇宙空间绕行过一圈，的确可以出现这种左手系和右手系的相互转换。”
“什么转换？”
“整个人左面和右面反转过来，像照像底片一样。不过我没法证明他刚才说的通过时空转换到达M星是不是真话。要是真的那就对了。”
“这个我有办法验证！”梅丽飞快地打开药柜取出副听诊器按在帕凯胸前来回听，“心脏在右边胸膛里！他的内脏也旋转了180度！”
——绿杨，《鸟巢里的笑声》节选,《科幻世界》1993年第8期

　　这一科学设定不是绿杨老师独创的，笔者看过不止一次。跟克拉克的设定不同，这里没有出现四维空间。那么，这一设定是可能的吗？

　　从数学上来说，旅行一圈后左右颠倒是可能的。为了说明这一点，最简单的例子就是著名的莫比乌斯带。这一几何对象是由德国数学家莫比乌斯（August Ferdinand Möbius，1790—1868）发现的。

　　把一条长方形纸带的两端粘起来，有两种办法。最自然的粘法得到的曲面叫做平环（annulus）。

　　

　　把纸带粘成平环

　　把一端拧半圈再粘起来，得到的曲面就是莫比乌斯带。

　　

　　把纸带粘成莫比乌斯带

　　
通常科普文章里说到莫比乌斯带，都会强调它只有一面。其实莫比乌斯带还有一个更本质的特点：假设有一个二维生物生活在莫比乌斯带上，我们就可以看到，在沿着莫比乌斯带旅行一圈后，它的左右发生了颠倒。

　　

　　仔细想象一下这个二维生物的视角，我们会发现《技术故障》里有一个细节比《鸟巢里的笑声》更准确。那就是，从这些左右颠倒的人的角度来看，并不是自己的身体发生了左右颠倒，而是除了自己以外的整个世界发生了左右颠倒。“错的不是我，是这个世界！”

　　

　　图源：腾讯新闻

　　“我正要离开，奈尔森又说：‘哦，差点忘了，我想我跌倒时一定是压在右胳膊上了，好像手腕扭伤了。’‘让我瞧瞧，’我说着，弯腰抬起他的右臂，‘不，是这一只胳膊。’奈尔森抬起他的左臂。我还是迎合他，说：‘随你怎么叫它们都行。但你刚才说的是你的右胳膊，不是吗？”
奈尔森似乎一时摸不着头脑。‘那又怎样？’他说，‘这就是我的右胳膊，我的眼睛可能出毛病了，但这是右胳膊，毫无疑问。我的结婚戒指可以作证，五年来我想尽办法都没能把这该死的玩艺摘下来。’
这大大的动摇了我的看法。因为，你知道，他所抬起的是他的左臂，而结婚戒指戴在他的左手上。看得出他没撒谎。

　　——亚瑟·克拉克短篇小说《技术故障》节选，朱丽 译

　　梅丽说：“警察在追捕一个人，又和你一模一样，左边也有颗金牙。你还有什么说的？”
“那不是我！我金牙在右边。”帕凯把手指伸进嘴里一摸，咦了一声，金牙的确在左边！帕凯自己也糊涂了。

　　——绿杨，《鸟巢里的笑声》节选,《科幻世界》1993年第8期

　　事实上，我们再来看看这个在莫比乌斯带上旅行一圈的二维生物。对于它来说，在旅行过程中并没有一个时刻发生了什么特别的事情让左右颠倒。它的右手一直是右手，不会突然变成左手。当它回到起始点时，它看到的是一个左右颠倒的世界。

　　

　　如果一个曲面上有一条闭合的路径，使得沿着这条路径走一圈后，二维生物的左右会发生颠倒，那么这个曲面就是一个不可定向曲面。莫比乌斯带是最简单的不可定向曲面。

　　克莱因瓶是另外一个著名的不可定向曲面，它是德国数学家克莱因（Felix Klein，1849—1925）发现的。设想取一个纸筒，把纸筒两端粘起来，最自然的粘法可以得到一个形如轮胎表面的曲面，数学里叫做环面（torus）。

　　

　　但我们还可以用另外一种方式粘起来，得到克莱因瓶。

　　

　　视频作者：Konrad Polthier

　　三维空间里的克莱因瓶一定会有自相交，但我们可以把克莱因瓶放到高维空间里，使得它没有自相交。

　　

　　Acme Klein Bottle制造的玻璃克莱因瓶

有不可定向的曲面，就有可定向的曲面。球面、环面等等曲面就是可定向的曲面。在可定向曲面里，二维生物无论怎么走，回到出发点后都不会发生左右颠倒。

　　2020年阿里巴巴全球数学竞赛决赛的一道题目涉及到可定向曲面和不可定向曲面。其中=的情形就是关于克莱因瓶到环面的连续映射。

　　

　　
曲面是二维的，我们常见的直线和圆周则是一维的。推广到任意维数，可以在一类叫做“流形”的几何对象上考虑定向。

　　流形（manifold）是现代数学里的一个基本概念。包括直线和圆周在内的曲线都是一维流形。它们的特点是，把其上任何一点的局部放大后，都跟直线非常接近。

　　

　　
曲面则是二维流形。把任何一点的局部放大后，都跟平面非常接近。

　　

　　
举个例子，地球的表面是球面，是二维流形。从日常生活的尺度来看，大地是平坦的。所以地平说至今仍有很多人相信。

　　

　　图源：Claus Lunau/Science Photo Library

三维流形则可以想象为不同形状的宇宙。不可定向的三维流形是这样的一种宇宙，旅行者在其中沿着某条路径走一圈后会发生左右颠倒。最简单的不可定向三维流形是莫比乌斯带和一条线段的笛卡尔积。这个流形的边界是克莱因瓶，可以看作是把克莱因瓶“填满”，所以被称作实心克莱因瓶。

　　对于不可定向流形来说，“左”和“右”只在局部上有意义，在整体上没有意义。怎么理解这句话呢？还是回到《鸟巢里的笑声》的场景。如果宇航员只生活在地球附近，比如说永远不离开太阳系，那么左右就不会颠倒。可是一旦他沿着某一条路径到宇宙深处旅行一圈回来，左右就会发生颠倒。在这个设定的宇宙里，“左”和“右”就没有什么不同。

　　如果我们把右手系的两个坐标轴绕着莫比乌斯带走一圈，就得到左手系。

　　

　　类似于莫比乌斯带，在三维不可定向流形里沿着某条路径走一圈后右手系会变成左手系。

　　正如我们前面所说，在不可定向流形里，左手系和右手系只在局部上有意义，在整体上没有意义。可定向流形就不一样了，在整体的意义上仍然有左手系和右手系。如果我们取定其中一类坐标系，我们就取定了这个流形的一个“定向”。每一个可定向流形都有两种不同的定向，对应着左手系和右手系。

　　

　　球面上的左手系和右手系

　　宇称不守恒

　　那么，科幻小说里这样的场景真的可能发生吗？在四维空间翻转导致左右颠倒，或者在宇宙中旅行一圈后左右颠倒？

　　我们已经说过，数学上这是可能的。但是，物理上这或许不会发生，因为对于物理定律来说，左和右是有区别的。

　　在自然界中有四种基本力：电磁力、弱相互作用、强相互作用、万有引力。1956年，李政道（1926— ）和杨振宁（1922— ）提出了弱相互作用中的宇称不守恒定律，其大致含义是，在弱相互作用里左和右是不一样的。另外一种表述是，一个真实的物理过程，它在镜子里的像可以不符合物理定律。宇称不守恒定律是对物理学家固有观念的重大冲击，以至于泡利（Wolfgang Pauli，1900—1958）说：“我不相信上帝是一个弱的左撇子”。（据说杨振宁幼年是左撇子，后来被其母纠正，见 刘钝、王浩强访问整理，《爱因斯坦、物理学和人生——杨振宁先生访谈录》。）1957年，吴健雄（1912—1997）等人用实验证实了这一定律，李政道和杨振宁因此获得当年的诺贝尔物理学奖。

　　

　　李政道与杨振宁在普林斯顿高等研究院，图源：普林斯顿高等研究院

　　

2021年2月11日，美国邮政署在中国农历除夕发行的吴健雄纪念邮票， 图源：USPS

　　宇称不守恒定律告诉我们，左与右是不对等的，所以左右颠倒很可能不会在现实中发生。

　　克拉克小说《技术故障》里，宇宙空间是高维的，可以通过在四维空间中的翻转来实现左右颠倒。在现代物理的弦理论里，宇宙时空正是高维的。除了通常的四维时空外，还有额外维度。但是，弦理论尚未被实验证实。即便依照弦理论，这些额外维度也是蜷缩在非常小的尺度里，不足以让人通过这些额外维度来翻转。

　　如果宇宙的形状是一个不可定向流形，那么沿着某条路径走一圈后右手系会变成左手系。这样一来，左和右就没有区别了，似乎跟宇称不守恒定律矛盾。然而，这个论证或许并不正确，因为这条路径可能非常之长，或许以百亿光年计，甚至会超过可观测宇宙的直径。爱因斯坦的相对论告诉我们，任何信号的传播速度都不能超过光速。如果这条路径太长，以至于光沿着它走一圈需要的时间超过宇宙的年龄，那么宇称不守恒定律或许并不会带来矛盾，也不会有一个宇航员能够完成导致左右颠倒的旅程。当然这一观点很大程度上只是笔者的外行看法，希望有方家指正。

　　

　　刘易斯·卡罗尔，图源：维基百科

　   不可定向的宇宙被称为“爱丽丝宇宙”。这个名字来源于数学家查尔斯·道奇森（Charles Dodgson，1800—1868）以刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll）为笔名所著的儿童文学作品《爱丽丝镜中奇遇记》。爱丽丝宇宙仅仅是一个理论上的假设，没有任何观测证据表明宇宙有非平凡的拓扑，更不必说宇宙不可定向。至于爱丽丝宇宙是否有可能存在，这是一个尚存争议的问题。我们或许永远也无法得知答案。

　　

　　杨振宁与米尔斯（Robert Mills，1927—1999）， 图源：American Institute of Physics

　　描述弱相互作用的物理学理论是规范群为SU（2）的杨-米尔斯规范场论。上世纪八十年代，英国数学家唐纳森（Simon Donaldson，1957— ）用杨-米尔斯规范场论来研究可定向四维流形的微分拓扑，获得了一系列令人惊异的结果。在唐纳森理论里，对每一个可定向四维流形都要预先选好一个定向，然后才能加以研究。如果把定向改变，流形在唐纳森理论下的性质也会有剧烈的变化。换句话说，在唐纳森理论里面，左和右也是不一样的。

　　

　　唐纳森在1986年4月的一次会议上，几个月后他获得菲尔兹奖，图源：Who's That Mathematician? Paul R. Halmos Collection

　　对映异构体

　　如果左右真的颠倒，不光是物理上会有宇称不守恒的问题，化学上也会出麻烦。许多化学分子有“手性”，也就是说，这个分子跟自己的镜像不能通过转动而重合，就像人的左手和右手不能通过转动而重合一样。如果两个分子互为镜像，它们就被称为“对映异构体”（enantiomer）。

　　

　　互为镜像的分子，图源：A Look at Enantiomers and their role in Drugs and Perfumes，Prior Scientific，http://www.prior-scientific.co.uk

      对于有手性的分子来说，它与它的对映异构体在自然界中起到的作用并不一定相同。例如地球上生物的氨基酸分子都是左旋（L，拉丁语laevus）的，而糖分子都是右旋（D，拉丁语dexter）的。在实验室里可以合成出右旋氨基酸和左旋糖分子，但它们无法被生物体利用。如果真有一个宇航员在宇宙中旅行一圈后左右颠倒，那么他就无法吸收地球上食物中的营养物质。

　　

　　左旋丙氨酸分子和右旋丙氨酸 分子图源：biochemistry-defining-life-at-the-molecular-level

　　

　　右旋葡萄糖分子和左旋葡萄糖分子，图源：www. chemicalbook.com

　　在克拉克小说《技术故障》里，工程师的左右颠倒以后，他就再也不能吸收食物里的某些分子。这导致了随后进一步的悲剧。而这一点在《鸟巢里的笑声》一文中被忽略了。

　　“同分异构体具有几乎一模一样的化学成分，”他继续，“但是它们之间也有些细微的差异。山得森医生告诉我，在过去几年中人们已经发现，某些基本食物，包括凡登伯格教授发现的新型维生素，其营养成分和作用取决于它们原子的空间排列。换句话说，先生们，对生物体来说，某种左旋化合物可能是构成生命的基本要素，而它的右旋化合物却可能毫无价值，虽然实际上两者的化学分子是完全相同。

　　“现在你们可能明白了，为什么奈尔森的逆转要比我们最初预想的要严重的多。这并不仅是一个重新学习阅读的问题——想必而言这是个最微不足道的问题，事实上，他在吃饱喝足的同时却将因饥饿而死，因为他不再能够吸收食物中的某些分子了，就好像我们不能把左脚的靴子套在右脚上一样。

　　——亚瑟·克拉克短篇小说《技术故障》节选，朱丽 译

　　结论

　　所以，在数学上，左右颠倒是可以实现的。然而，由于物理的原因，实际中多半不会发生。最后，化学告诉我们，即便发生了，也不太可能正常地生活。在左和右里，大自然偏爱其中之一。或许，正如泡利所说，上帝是一个左撇子。

　　作者注

　　本文改编自作者今年3月14日在阿里巴巴达摩院和中国科技馆举办的“好奇心想象力系列讲座”上的讲演稿，原题为《几何中的左和右》。感谢阿里巴巴达摩院和中国科技馆的邀请和组织，感谢沈悦和尹骏对初稿提出的宝贵意见，并感谢线上热情参与的听众们！