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倪忆:《三体》故事,源于一个价值千金的错误
2021/10/31 14:30:10 | 浏览:319 | 评论:0

《替诺贝尔背锅百年的数学家》中,我们讲述了米塔格-列夫勒、柯瓦列夫斯卡娅与诺贝尔三人之间的故事。诺贝尔不设数学奖,并不是因为他跟米塔格-列夫勒之间有什么矛盾。本文主要探讨庞加莱因为论文中的错误,意外成为了发现“混沌”现象(又称蝴蝶效应)的第一人。

一、数学杂志Acta Mathematica

米塔格-列夫勒这个名字在数学界以外并不广为人知,绝大多数人听说这个名字可能都是因为上述关于诺贝尔奖的谣言。然而在数学界,他的知名度相当高。

米塔格-列夫勒或许是数学史上最出色的社会活动家。1882年,米塔格-列夫勒创立了数学杂志Acta Mathematica(以下简称Acta),并担任主编45年之久。柯瓦列夫斯卡娅到瑞典后,应他邀请成为Acta的编辑——很可能是世界上第一位担任科学杂志编辑的女性。

米塔格-列夫勒有着令人印象深刻的筹款能力(正因如此,他在阿尔弗雷德·诺贝尔那里的失败才更引人注目),为了创办Acta,他筹集到了26,000克朗资金。其中瑞典与挪威国王奥斯卡二世(Oscar II,1829—1907)捐赠了1,500克朗,并同意担任Acta的荣誉赞助人。他还取得了瑞典、挪威、芬兰三国政府的承诺,每国每年为Acta出资1,000克朗。

尽管如此,Acta有时还是会入不敷出,需要他自己往里面贴钱。利用他在法国和德国的人脉,米塔格-列夫勒成功地约到了一批一流数学家给Acta投稿,保证了杂志的高质量。Acta第一期的第一篇文章就是年轻的法国数学天才庞加莱(Henri Poincaré,1854—1912)开创自守函数理论的论文。

米塔格-列夫勒把这一工作称为自椭圆函数以来最非凡的数学发现。事实证明,他的这一评价还是大大低估了其重要性。自守函数或者说自守形式是现代数论研究的核心主题,这一点恐怕连庞加莱本人都没有预料到。对于一份新杂志来说,很难想象有比这更好的开端了!

一份杂志的命运,当然要靠自我奋斗,但是也要考虑到历史的行程。当时世界数学的中心在法国和德国,两国都有自己的优秀数学期刊,但普法战争造成的裂痕让两国数学界难以交流,甚至很少订阅对方的期刊。Acta在这时候横空出世,成为国际数学交流的重要媒介。Acta Mathematica至今仍是数学里最好的杂志之一。

二、奥斯卡二世数学奖

创办Acta Mathematica让米塔格-列夫勒在数学界获得了极高的声誉,但他的雄心不止于此。1884年夏,米塔格-列夫勒建议奥斯卡二世设立一个数学奖,每四年颁发一次。国王最终同意设立一个一次性的悬赏奖项,作为对自己六十岁生日的庆祝。评奖委员会由三人组成:米塔格-列夫勒、埃尔米特和维尔斯特拉斯。

在十八、十九世纪,数学奖的常见形式是对未知问题的悬赏征解。例如我们前文中提到的刚体旋转问题,在1852年就曾被普鲁士科学院悬赏100金币求解,但直到1858年都没有人能解答,于是悬赏取消。法兰西科学院也曾多次对刚体旋转问题进行悬赏。

不过在实际操作中,在发布悬赏时往往已经知道某人在某问题上取得了进展,悬赏征解就是为了奖励这个人。这更接近于现代的科学奖评选,柯瓦列夫斯卡娅获得“鲍廷奖”就属于这种情况。为了表示公平,多数悬赏征解要求匿名投递解答。

1885年,奥斯卡二世数学奖的公告刊登在Acta和英国《自然》杂志上。为了避免“钦定”获奖人之嫌,评奖委员会一共公布了四道未解决的问题,参赛者可选择其中一道解答。其中前三道分析方面的问题是维尔斯特拉斯提供的,第四道代数问题是埃尔米特提供的。答案必须在1888年6月1日之前匿名寄至Acta,并在封面上留下一句暗语以确认作者身份。评奖委员会将从中选择一名优胜者。

四道问题里的第一题是求出“多体问题”的精确解。具体而言,是要把满足牛顿定律的多个天体的位置函数用处处收敛的级数表示出来。我们知道,天体的运行通常是由牛顿三定律以及万有引力定律所决定的。对于一个只包含两个天体的系统,例如太阳-地球系统,只要知道两个天体的质量、初始位置和速度,运用微积分和前述力学定律就可以算出它们在任一时刻的位置。

然而,一旦系统中包含多于两个天体,精确求解就变得非常困难了。这个困扰了自牛顿以来的数学家们两百年的问题成为本次征解最引人注目的问题。在组委会收到的全部12份解答中,有5份是关于第一题的。最终优胜者回答的正是第一题,这个人就是庞加莱。

倪忆:《三体》故事,源于一个价值千金的错误

三、一个价值千金的错误

庞加莱并没能解决多体问题,他只考虑了三体问题的一个非常特殊的情况。他假定其中两个天体的质量非常大,第三个的质量与前两个比起来可以忽略不计。他进一步假定三个天体始终在同一个平面上运行。

尽管只考虑了这种特殊情况,庞加莱在论文中引入了大量的新方法和新概念,开辟了动力系统这门崭新的数学分支。与前人不同,庞加莱把三个天体看作一个整体,牛顿定律的微分方程在这个整体的“相空间”中定义了一个“流”。于是庞加莱便可以采用几何与拓扑的办法,对这个流的性质加以研究。

庞加莱的论文里已经包含了“第一回归映射”“庞加莱复现定理”“积分不变量”等许多动力系统的基本内容。维尔斯特拉斯评论道:“这个工作不能真正视为对所求的问题的完善解答,但是它的重要性使得它的出版将标志着天体力学的一个新时代的诞生。”

然而,这次评奖从一开始就伴随着争议。德国数学家克罗内克(Leopold Kronecker,1823—1891)跟维尔斯特拉斯之间一直有瑜亮情结,对于自己没有进入评奖委员会感到非常不满。他多次公开或私下批评征解问题的选择。

米塔格-列夫勒给庞加莱写信说,克罗内克就等着维尔斯特拉斯关于庞加莱论文的报告发表出来,好加以批评。在庞加莱获奖消息公布后,当时担任斯德哥尔摩天文台台长的于尔登(Hugo Gyldén,1841—1896)声称自己在几年前的一篇论文里已经解决了三体问题。

他把评奖称为一次“骗局”,说评奖委员会和庞加莱这些人只不过是小圈子里互相吹捧。庞加莱对此的回复是,天文学家和数学家所理解的“证明”是不一样的。

倪忆:《三体》故事,源于一个价值千金的错误

评奖结果在1889年1月21日,奥斯卡二世的六十岁生日当天公布。庞加莱获得了一枚金质奖章和2,500克朗奖金。他的论文预备在当年10月的Acta上发表。

负责编辑庞加莱论文的秘书是一位年轻的数学家弗拉格曼(Lars Phragmén,1863—1937)。他阅读论文时经常发现一些费解之处,便写信问庞加莱,后者回复以更多的细节。在这一过程中,庞加莱自己发现了论文中一个严重的错误。米塔格-列夫勒在当年12月得到这一消息,可此时刊载庞加莱论文的杂志已经印好,并寄出了50份。

这个错误一旦公开出来,将是一个大丑闻,对有关各方的声誉都是沉重的打击。在这种时候,米塔格-列夫勒只能选择相信庞加莱,希望他能够改正错误。他极力封锁消息,甚至连维尔斯特拉斯都被瞒着,怕这位老先生被气出个三长两短来。

他写信给收到杂志的机构和个人,说需要作一些必要的更正,将这些杂志全部回收。如今这个版本的杂志只有两份存世,都在米塔格-列夫勒研究所。在米塔格-列夫勒的要求下,庞加莱承担了由此产生的相关费用,共3,500克朗,比庞加莱领到的奖金还多1,000克朗。这个错误可谓是字面意义上的价值千金。

世上没有不透风的墙,论文出现错误的消息还是传播开来。维尔斯特拉斯从于尔登那里听到了传言,于是他要求米塔格-列夫勒解释。米塔格-列夫勒安抚他说,这个错误并不严重,庞加莱和埃尔米特都很有信心能够改过来。

庞加莱在1890年1月5日提交了新版论文,这才平息了事态。修改后的论文长达270页,于1890年11月发表在Acta上。

倪忆:《三体》故事,源于一个价值千金的错误

庞加莱论文手稿首页,可以看到他写下的暗语 Nunquam praescriptos transibunt sidera fines

在庞加莱的原始论文里,他“证明”了他所考虑的系统是稳定的,也就是说,初始值的微小扰动不会让运动轨迹有太大变化。他所选取的表明其身份的暗语是“Nunquam praescriptos transibunt sidera fines”,意为“繁星无法超越”,正隐含着天体系统是稳定的这一结论。然而,原始论文中的错误导致此结论也不正确。

为了改正错误,庞加莱引入了“同宿轨”这一概念。经过对同宿轨的细致分析,庞加莱发现,即便对于他所考虑的这种特殊情况的三体问题,初始值的微小扰动也会带来运动轨迹的巨大变化,使得精确预测近乎不可能。这就是后世所说的“混沌”现象,又被称作“蝴蝶效应”,庞加莱则成为发现混沌的第一人。

美国数学家伯克霍夫(George Birkhoff,1884—1944)在1925年说,庞加莱的这篇论文或许是Acta上发表过的在科学上最重要的一篇。这个论断在一百年后大概也还是对的。

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科幻小说《三体》中,一切故事都起源于三体运动的混沌行为

作者:倪忆

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