1、数学演化的历史

动物也具有数学本能。

比如，蜜蜂建造的蜂巢，是严格的六角柱形体。它的一端是六角形开口，另一端则是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成。这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是109°28′，所有的锐角都是70°32′。后来法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林计算得知：如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度。

丹顶鹤迁徙总是成群结队，而且排成“人”字形。这“人”字形的角度永远是110°左右，如果计算更精确些，“人”字夹角的一半，即每边与丹顶鹤群前进方向的夹角为54°44′08″。按照这个队形，使得队伍中的丹顶鹤最省力。

同样地，人类从远古走来，最开始是猿，从猿进化到人。因此，人在生存发展的过程中，必然要产生基本的数量需求和位置需求。比如，人生存好要吃肉，吃肉就要捕猎，可捕猎是有风险，当然谁也不愿意受伤。那么，就要思考这一个月需要吃几头猪，并且不用冒更大的风险捕猎更多的猪。而这对应着基本的数量需求。

另外，我们要有住的地方，不能直接挨着狮群住，也不能离水源太远，还要考虑地势高低，不能一下雨，住的地方就成了水坑。这就对应着基本的位置需求。

这就产生了基本的数量需求和位置需求。

产生了这些东西之后就希望有一种描述，于是数学从这个时候开始产生，但是非常的初浅。比如说，一个原始社会的一个群落或者一个山洞，这个山洞里面我们到底有多少个人、我们打死了几只猴子、几只野猪等等这些东西都需要计量。再比如，我们还需要研究位置关系：我们所居住的山洞跟某一个河流构成了怎样的位置关系，跟某一个岔路口构成怎样的位置关系，当时这些问题都需要前人来解决。同时，我们还要解决场所的大小问题。比如说，我们这个山洞它究竟有多大，它究竟能够容纳多少人等等，这都是问题。这些问题发生了，于是人类开始产生最基本的东西。

比如说，最开始需要计量，于是产生了1、2、3、4等自然数。

为什么称之为自然数呢？

数学的定义都是经过严格推敲的，是要反映它的本质，给人以形象的理解。举个稍复杂点的概念——支集，具体的定义为：一个函数f定义在集合X上，其中X的一个子集，满足f恰好在这个子集上非0，那么，这个集合称为支集。这就好像X轴是地面，函数像人一样从地面上支撑起来。

因为它是从大自然中来，自然产生的。有了数量需求，就想着表示。从最开始，不同的人有不同的发展，因为他是自然发生的。我们最开始就产生自然数，利用这个东西来计量。我们想想人类最开始有数学需求的时候，那个时候又没有这些数字，于是那个时候只能弄一个小绳。比如说，我打死一只狍子，我在这个小绳上系个扣，我打死第二只再系第二个扣……

等回来之后酋长问我：你今天战果如何啊？我把那个小绳往外一掏，给你看这么多个扣。问我战果怎么样？你看有多少个小疙瘩，那么战果就有多少。所以那个时候人类生活是很不方便的，只能通过那些小疙瘩来计数。而后来，发明了数，虽然这事对我们今天来讲是很简单的一件事，在那个时候来讲它极不简单。

当人们对数的认识变得越来越明确时，人们觉得有必要以某种方式来表达事物的这一属性，于是就产生了计数。最开始的是采用手指计数，一只手五根指头表示5以内的事物的集合，两只手就表示10以内的事物的集合。正如亚里士多德所言，我们今天十进制的广泛采用就源于人生来就有10根手指这样的解剖学结果。

随着人们对于数的需求越来越大，10以内的数已经不敷运用时，于是我们就出现了石子计数。但随之而又出现了一个很大的不便，计数的石子很难长久保存信息，容易出现丢失。所以随着发展又出现结绳计数和刻痕计数这两种计数方式，这打开了我们计数发展的新局面，是一个跨越式的前进。

例如，在美国自然史博物馆保存有古代南美印加部落用来记事的绳结：在一根较粗的绳子上栓系涂有颜色的细绳，再在细绳上打着各种各样的结，不同颜色和结的位置、形状表示不同的事物和数目。这种记事方法在秘鲁高原一直盛行到19世纪，而日本的琉球岛居民还仍然保持着结绳记事的传统，足见结绳记事对于人类发展的重要意义。计数系的出现使数与数之间的书写运算成为可能，在此基础之上初等算术在几个古老文明地区发展起来了。

数1、2、3、4……我把它排成顺序，只要记其中一个就行，根本不必要重复。比如说，打死了八只狍子，1、2、3、4、5、6、7、8，我只要能说出“8”，大家就能明白什么意思。这就是最开始产生“数”。

但大家想想，在古代，那个时候还没有面积的概念，但是人们还要描述事物的大小，你们说怎么办？我们现在就模仿一下古人。假如说我们现在没有面积的概念，也没有尺寸的概念，要描述一下这块石板有多大怎么告诉我？最开始肯定用手臂比划一下。但如果在遇到两个情况就不好办了：一个情况是，这个石板远远比我的两个手臂宽，怎么办？长和宽都要超过手臂能比划的范围，怎么办？另一种情况是你在五里以外，发现这么一块石板，你又不能见我的面，要通过一个小孩，来转达我，怎么办？你可以想象很多种情况。在这个时候就遇到困难。不要单说这么大的石头，还有的情况是：非常小，小的像一个小米粒那么大，然后跟我“恩恩恩”，以手做比划，我这么比划了半天，尤其是远的同学，你也没看明白什么意思，是吧？我在这里边，说，有一种黄色的米，你啥也看不到，就是说，太小了你看不出来，超过你双臂能比划的范围你也看不出来。在这个时候，人类就想，我怎么描述它呢？于是有一天，终于想出来，用长和宽的关系来描述面积，用长宽高的关系来描述体积。所以大家想，这个世界，我们今天所描述的东西，都不是凭空而来的。

很多数学基本概念的定义确定了数学未来发展的形式。

面积表示着平方的概念，如果是一块面积。平方就是二维了，就涉及到以后的坐标系，并直接暗含着直角坐标系。如果，一开始面积表示不是平方，而是现在讲的菱形，那么，菱形坐标系该怎么表示？

笛卡尔坐标系

其实呢，最开始借助的都是长乘宽。用长和宽相乘，用方的东西，不管是正方的，还是长方的，用一个方的东西定义了面积。但是以后即使不是方的，我也借助于方的来表达。所以，很多东西不是从来就是这样的。如果我们善于从哲学角度想问题的话，你将会发现，在这里不自觉的有这样一个坐标关系。借助于一个直角坐标关系。那就是说，说明这个角是直角。你这么定义面积。大家再想想，人类还可以换多种方式定义面积。比如说，现在的坐标轴都是这样的一个角度的坐标轴，不是90°，而是60°，60°的坐标的话，我仍然可以建立坐标，那么我仍然可以用60°的坐标这种关系建立面积的概念。如果人类最开始定义面积，用这种60°角（的坐标）来定义面积，那么你们可以想象，我们今天的数学就不是今天这个样子。所以数学它最后形成的形式，跟你最开始的定义方式是密切相连的。我们到了大学，让我们做这样一个不定积分，（sinx/x）的不定积分，觉得这个东西太难了。那么这个不定积分原函数我们在数学上怎么回答？原函数是存在的，但是我们不知道他如何表达，因此我们就说这个不定积分现在没有。事实上，我们后来真的学了积分之后，我们发现要描述它非常容易。为什么呢？因为我们只要在一个很小的范围内，我们把sinx进行泰勒展开。发现它就是这么一个关系，你只要把x跟它每一个除一下，它就变成了1-x^2⁄3!+x^4⁄5!+⋯。我们发现把这个原函数找到，并且算一下计算就比较简单。我们只要找到了它，对它进行积分，就是一个幂函数积分，积出来还是个级数，非常简单。一个用积分表达，计算起来也并不复杂的东西，为什么我们通常表述就那么难呢？这就说明我们今天的数学是沿着一特定的思路来定义下来的，来演绎下来的。假如说现在我们定义面积，我们是按60°定义或者按30°来定义而不是按90°来定义的话，这个时候，你重新算sinx/x这个积分的时候，可能一下子积出来，这是个非常简单的东西。而现在我们非常简单的东西，那个时候就有可能变得非常复杂的东西。我们有些从事数学的人，在一些具体问题上能够取得一定的成就，但是可以说，仍然处在一个“小家”的水平上，不能称之为大家。问题就在于他们并不能够用开阔的思想来思考数学，他们不知道数学为什么是这个形式，他们不知道数学未来将会是什么形式，他们不知道数学未来将怎样发生革命。像牛顿、莱布尼兹、庞加莱、克莱因等大数学家，他们都是有很深的数学史、数学哲学功底的。

我们最开始由于数量的需要，产生了数字。后来由于要解决位置

2、运算关系的产生历史

不同的民族都需要数字，需用数字来表达，在现实生活中常会涉及数字之间的数量关系。比如军营里面现有一个营的兵力，然后又有人来参军，又来了一个营零一个连的兵力，那么我们一共有多少兵力？这样的数量关系怎么描述呢？再比如现在军营里面有三个营的兵力，需要分出去两个营给别人，怎么分？于是现实生活中就产生了加法和减法。涉及要把一些东西和到一起测量总数的时候就产生了加法，涉及要从一个总的数字当中分一些东西出去，就产生了减法。在人类最早的文字记载中，加减运算是最早掌握的两种数学运算。我国古代比较注重利用工具来做计算，用算筹或者算盘来做加减法，记录时用的是文字表达。在现实当中因为有需求，才产生了各种各样的运算。从根本上说，人类一般是不干傻事的，总是产生对人类有用的东西。

算筹

有人问为什么三加二等五，实际上这个问题没有什么好问为什么的，这些关系就是确定的。如果探讨缘由的话，这不是纯数学的推理能解释的，而是一个哲学、历史、社会学的问题。就是因为算术的结论是在人类几百年、几千年的社会实践过程中积累、归纳、总结下来的，它们逐渐在人们意识中固定了下来，在符号的语言中固定了下来，以及在实际的应用中固定了下来。比如三个和两个放在一块就是五个，两个和三个放在一块也是五个（这最终还总结出了加法结合律），任何时候、任何地方都是这样。当然现实中也有时候不是这样，比如三升水和两升酒精加在一起就不是五升，但是，数学的模型、数学的抽象舍弃了这些特殊的情况而抓一般的情况。当然，在现实应用中是需要认清前提的，否则会闹出笑话。

那现实生活中为什么要产生乘法呢？我们可以想一想，如果我们要一些东西加起来，比如3+3+3+3+3；使用加法很容易得到3+3+3+3+3=15，能得到对应的结果。假如有五十个“3”相加呢，那我们需要3+3+3+……，这样太麻烦了。为了简化起见，人们用一种新的方式来表达它，也就是“5*3=15”。同理，除法是怎么产生的呢？一个数按照相等的关系能减出来多少倍，比如十除以三等于三余一，意思就是十按照三个等分这么分的话，只能分出三个等分来，最后剩下一等分。

加减乘除运算关系，都是小学最基本的东西。问题的根本在于是否知道它的来龙去脉，就是它到底是怎么来的，到底是什么意思。

3、分数、小数、负数、无理数的产生历史

我们讲数学，讲“数”，数最先产生的是自然数，就是“1、2、3、4、5、6、7、8……”，一直往下数下去就是自然数。而后又加入了“0”，“0”和那些自然数，形成了最初的整数的概念（注：负数产生后，整数的概念中又加入了负整数）。再后来又出现了分数的概念，甚至还出现了小数的概念。分数的概念很简单，比如说妈妈烙了一个饼，家里有三个孩子，于是把这个饼分成三份，然后分给每个孩子，这时候就需要表述：每个孩子吃了多少呢？哦！一个孩子吃了三分之一。妈妈一想，还得给你们爸爸留一份，拿刀在这个饼上切了个“十字”，分成了四块。这时一块饼就变成四份了。而后妈妈再一想，我自己还没吃呢，就可以把这个饼分成五份。这里就涉及三分之一，四分之一，五分之一。从这里可以发现，一个整体要分成若干份，我们原来了解的整数的概念随着生产生活的发展逐渐不够用了，在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，于是就产生了分数的概念。

小数又是如何产生的呢？一些实用的计量单位多采用十进制计数法，由此也就产生了十进分数，也就是小数。小数的产生较负数晚，第一个将这一概念提出的是魏晋时代的刘徽，他在计算圆周率的过程中，用到了尺、寸、分、厘、毫、秒 、忽7个长度计量单位，对于忽以下的更小单位则不再命名，统称为“微数”。在早期小数可视为是分数的一种变形的表达形式。有的是一种准确的表达，有的则是一种近似的表达。比如，当我们描述三分之一的时候，三分之一是一个准确的概念，而0.333333……不管后面有多少个3，都是不准确的。但不管怎么说，我们现实生活中有了小数也行。比如说，分了一块饼的三分之一，这个说法很准确；说分了0.3333块饼，虽然有点近似，但是也能理解它的意思。因此小数也有小数的意义。于是我们的加减乘除运算，也可以把分数和小数加进去。

人们在生产生活实践中，为了表示相反意义的量，如钱粮亏损、材料欠缺、负债等情况，将其用数学符号来表达，就产生了负数。在中国公元一世纪的《九章算术》中，就最早提出了正负数加减法的法则。整数、分数、小数，加上负数，就构成了我们今天所说的有理数。

九章算术

有了有理数，我们再看无理数。无理数的产生也是很早的，但它被人们真正接受却是比较晚的。早在公元前470年左右的古希腊，毕达哥拉斯学派的学员希帕索斯发现边长为1的正方形对角线长度不能用整数之比的形式来表达，打破了毕达哥拉斯学派“任何数都可以写成两个整数之比”的信条。这个长度的值其实就是后来说的无理数，然而希帕索斯本人却因此被惊恐无比的毕达哥拉斯学派其他成员投入大海。随后，数学家们陷入了对这个问题的长期的争论中，这就是第一次数学危机。但是真理是掩盖不了的，毕达哥拉斯学派抹杀真理才是“无理”，人们为了纪念希帕索斯，把这样的量称作“无理数”，无理数最终还是被人们认识到并且影响了随后整个数学的发展。

希帕索斯

在数的范围在不断扩展的同时，计算领域内也产生了很多新的运算。在计算体积的过程中产生了乘方的概念，如一个正方形加上一个高变成正方体，相同的量三次相乘，就构成了三次方。产生了乘方，自然，也就要产生与之相反的开方的概念。

随着我们现实中需要解决的数量关系越来越复杂，运算关系也变得越来越丰富，数的表现方式也变得越来越丰富。前面所说的有理数和无理数统称为实数，后来又有了虚数的概念。与整数、分数等不同的是，虚数不是在自然科学或技术方面的推动下产生的，而是产生于数学本身内部产生的抽象的数学体系，但在后来也产生了极有价值的应用。

4、复数的历史

虚数究竟是如何产生的？在中学的教科书中，出于中学知识所限，将其解释为为了让方程

有解而引入了虚数i。但在历史中，复数是在一些数学家求解三次方程的过程中，发现结果中会出现对负数的开方，于是这个时候提出了虚数。可以说，复数正是在代数方程的求解中产生的。在古希腊时期，丢番图的《算数》中就已经记载了一元二次方程在

时的情形，但当时丢番图没有考虑这种方程是否有解。直到16世纪，三、四次方程的求解中才出现了复数。意大利学者卡尔丹在塔塔利亚的基础上推出了一般三次方程的解法。但在求解的过程中，出现了不可约的情形，这时负数会被开方。然而这是当时的欧洲人无法接受的，因为负数的出现本身就难以接受了（欧洲人为什么难以接受负数，这也是一个与社会学、文化学相关的有意思的问题），更别说给负数开方。之后，又有意大利数学家邦贝利引入了复数，但他本人觉得复数是神秘而无用的东西。法国数学家笛卡尔也将困惑数学家的“虚无缥缈”的东西命名为“虚数”。

但是在19世纪初，数学家给出了复数的几何解释。也就是用一个十字坐标，把一个称之曰虚轴，一个称之曰实轴，构成一个平面，实数和虚数走到一起构成了一个复数，写成a+bi的形式，而这个平面就是复平面（如下图）。而这个和向量即既有大小又有方向的量就可以对应起来了。在此基础上，将a、b换成变量x、y，并由此建立了复变函数。

后来人们又逐渐发现复数的理论体系在解决很多现实问题时是很好的工具。在流体力学中，比如对于一条河流，中间有一根木头挡住了一部分水流，那么对于木头两侧的水流，虽然距离很近，甚至可以忽略，但是两边水流的速率、方向却相差非常大，必须要绕过木头才能建立起相应的关系。把这个现象用一个模型来表达（如下图），

发现它和复平面上复变函数的性质非常相似。也就是，对于复平面上这样一个区域，中间被部分隔断，在被隔断处两侧，虽然距离非常小，但是函数在这两端的性质相差非常大。

因此，人们开始越来越相信复数的产生在数学中是有着非常重要的意义的。