用户名:  密码:   
网站首页即时通讯活动公告最新消息科技前沿学人动向两岸三地人在海外历届活动关于我们联系我们申请加入
栏目导航 — 美国华裔教授专家网科技动向科技前沿
关键字  范围   
 
现代数学的基石 — Lie theory (李理论 1)
2023/8/27 14:14:12 | 浏览:1076 | 评论:1

现代数学的基石—李理论,这就是你彻底理解它的方式,一定让你茅塞顿开

李理论(Lie theory),命名自19世纪的挪威数学家索菲斯·李,是数学和物理学中一个极其重要且广泛应用的理论,其根本概念是李群和李代数。这个理论提供了一个强大的框架,用于描述对称性和连续变换,因此在许多科学领域中都有着广泛的应用,包括量子力学、粒子物理、晶体学和机器人学。本文我们将深入探讨李理论的基本概念。

当你在谷歌中搜索“李理论”,会出现这张图片,

现代数学的基石 — Lie theory (李理论 1)


它使得该理论看起来比实际上更难。然而,如果你熟悉复数,那么你已经遇到了一个例子,那就是那些于模为1的复数,

现代数学的基石 — Lie theory (李理论 1)

你的本能反应可能是将这些数字视为 e^(i θ)。

现代数学的基石 — Lie theory (李理论 1)

但如果你更深入地思考,实际上是在这个复数圆上施加了一个坐标系统,例如,我们可以说这一点是 e^(i * 0.7π),

现代数学的基石 — Lie theory (李理论 1)

这个圆是所谓的李群(Lie group)的一个例子,将在稍后解释,但一般来说,它可以是更高维的,更难以可视化的。李理论的精髓是,即使在这些复杂的情况下,也要尽量施加一个坐标系统,使其更容易处理。

让我们稍微详细地阐述李理论,从李群开始。李群同时是两个东西,它是一个群,但也是一个流形。

现代数学的基石 — Lie theory (李理论 1)

李群-群

首先让我们了解一下什么是群,因为它是一个更容易的概念。

群基本上是一组满足某些属性的对象,使它们看起来具有对称性。我们期望对称性满足的第一个属性是封闭性。以正三角形的对称性G为例,我们将 h 表示为沿斜轴的反射对称性,g 表示为沿垂直轴的另一个反射对称性,那么将 g · h 定义为函数组合,即首先做 h,然后做 g。事实证明,g 和 h 组合是一个旋转。结果不重要-重要的是结果仍然是一个对称性,因此它仍然在 G 中。

现代数学的基石 — Lie theory (李理论 1)

但为了使这个公理成立,我们需要对每对 g 和 h 都证明这一点。你可以逐个验证这个情况,但根据定义,对称性是任何保持对象不变的变换。所以如果 g 和 h 是对称的,它们保持对象不变,那么当然,先做 h 然后做 g 也会保持对象不变,因此也是一个对称性。

对称性还遵循一些其他属性,如“结合律”:

现代数学的基石 — Lie theory (李理论 1)

如存在一个恒等元:

现代数学的基石 — Lie theory (李理论 1)

最后,对称性都有一个逆:

现代数学的基石 — Lie theory (李理论 1)

现代数学的基石 — Lie theory (李理论 1)

如果一组对象满足这4个条件,它就构成一个群。一个对象的对称性自然地形成一个群。如果给定一组数字或矩阵,比如一开始的复数单位圆,检查该集合是否满足这些属性是很有必要的。在这种情况下,你只需要使用模数相乘,甚至不需要用欧拉公式,

现代数学的基石 — Lie theory (李理论 1)

当然,不仅仅是这个圆形成了一个群。旋转矩阵的集合,正交或酉矩阵都是群,

现代数学的基石 — Lie theory (李理论 1)

如果你对群不太熟悉,我强烈建议你对这些集合的群公理进行补习。你所需要的只是转置、伴随和行列式的一些其他属性,

现代数学的基石 — Lie theory (李理论 1)

总之,群只是李理论的一部分。李群也是流形,那么什么是流形呢?让我们通过一个例子来理解:复数的圆。

现代数学的基石 — Lie theory (李理论 1)

这个圆是流形,意思是在它上面的每一点,其邻域基本上看起来像一条线,只是变形了。让我们放大这一点的邻域。

现代数学的基石 — Lie theory (李理论 1)

在圆的情况下,这是一个弧,可以平滑地变形为直线。

现代数学的基石 — Lie theory (李理论 1)

但同样重要的是,这条线也可以平滑地变回弧。这种双向变形就是我所说的“看起来像一条线”。当然,不仅仅是圆上的这一特定点。每个点都有这样的属性,即邻域看起来像一条线。这就是我们称圆为一维流形(1-dimensional manifold)的原因。

但是还有更高维的流形,道理是一样的。

相关栏目:『科技前沿
美国防部:成功发射领先世界十年的新激光武器 以惊人威力熔化无人机 2023-11-28 [290]
智能计算有望打破算力瓶颈 2023-11-28 [106]
本想在实验室看云,最后却改写了历史?这就是物理! 2023-11-27 [156]
如果真的有龙, 那从物理学的角度来讲, 龙的飞行原理是什么 2023-11-27 [136]
《福布斯》:2024年AI领域发展的五大趋势 2023-11-18 [308]
亚马逊推出“Astro for Business” 智能机器人为企业提供全天候保护 2023-11-17 [305]
大阪都立大学国际科学家团队探测“天照”粒子:新的宇宙之谜 2023-11-25 [106]
《Nature》以色列魏茨曼科学研究所 | 研究透视:石墨烯-量子振荡 2023-11-25 [121]
“歪打正着”获得的重大科学发现 2023-11-25 [152]
《环境科学与技术》:微波加热一次,食物中会出现数亿个塑料颗粒 2023-11-17 [680]
相关栏目更多文章
最新图文:
:《2019全球肿瘤趋势报告》 :阿尔茨海默病预防与干预核心讯息图解 :引力波天文台或有助搜寻暗物质粒子 :Sail Through the Mist - SoCal Innovation Forum 2019(10/5) 游天龙:《唐人街》是如何炼成的:UCLA社会学教授周敏的学术之路 :“为什么海外华人那么爱国,但是让他回国却不愿意?...“ :学术出版巨头Elsevier 彻查433名审稿人“强迫引用”黑幕 :中国336个国家重点实验室布局
更多最新图文
更多《即时通讯》>>
留言于2023-09-03 14:56:28(第1条)
这是给博客主人的悄悄话哦。
 
打印本文章
 
您的名字:
电子邮件:
留言内容:
注意: 留言内容不要超过4000字,否则会被截断。
未 审 核:  是
  
关于我们联系我们申请加入后台管理设为主页加入收藏
美国华裔教授专家网版权所有,谢绝拷贝。如欲选登或发表,请与美国华裔教授专家网联系。
Copyright © 2023 ScholarsUpdate.com. All Rights Reserved.