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张寿武:方程无解,求之不得
2024/4/20 15:56:16 | 浏览:684 | 评论:0

张寿武:方程无解,求之不得

     对我们数学家来说,就是要解没解的方程,这样的话我们才能够延续自己的研究,才能够有自己的生命。


早上好。很高兴能够参加(2019年)未来科学大奖。我接到组委会的邀请,要我给一个30分钟的报告,对我来说这是一个不太容易的事情。我给过很多public lecture,也就是公众报告,所有的报告都是给数学系的大学生、研究生,或者是对数学有兴趣的中学生。这是是第一次给公众的报道。所以让我讲点未来的科学,这个题目对我来讲有点沉重,我们来点轻松一点的东西。
昨天碰到很多中学生来听报告,很多家长问我的小孩将来学什么?我问他小孩想干什么?在今天这个年代,念大学有两个主题是最重要的,一个是计算机,一个是金融,都可以给你带来丰厚的工资。在我们那年代也一样,叫做“好数理化,走遍天下都不怕”。数理化最有用的大概是化学,像家里面所有的东西都是化学制品的多。信不信由你,当年我也考到中山大学化学系,进入化学系之后,我才发现化学不好学;学完化学之后也学学物理,平时看些物理书,物理也不好学;学物理之后要把数学学好,最后转到数学系去了。
数学家分两类,一类叫应用数学家,他们能解决问题,还有一类叫做纯粹数学家,他们解决不了问题。我发现我也没办法跟应用数学家竞争,他们的解题水平太高了,所以我就变成一个纯粹数学家。纯粹数学家,剩下的问题就是不能解决问题,所以我今天的报告基本上没有什么用。所以如果你也到这来听的话,你会发现这些纯粹数学家确实是一些莫名其妙的人。
万物皆数

我这个报告第一部分叫万物皆数。万物皆数,这个道理是古希腊的大哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras)提出来的。毕达哥拉斯通过研究月历和星座,发现自然界都跟数字有关系。所以大家想要研究好自然科学,研究哲学,先要把数字研究清楚。他办了一个学校,这个学校是秘密学校,学生在里面主要学习哲学、音乐、天文和数学。

毕达哥拉斯认为,世界的所有跟数有关系,比如说1代表推理(reasoning),2代表意见(opinion),3代表和谐(hormony),4代表公正(justice),5代表婚姻和爱情。他给所有东西都分一个数,奇数代表阳,偶数代表阴,这就是他的所有的观点。
在毕达哥拉斯的理论里,大量的数是有理数——所有的整数,整数之后再分成分数。有了整数、分数之后,我们就可以解所谓的线性方程,比如3X=5,那么X=5/3。这就是毕达哥拉斯当年的东西。
在毕达哥拉斯的学校,有人很快就发现了光是有理数不够。他的学生在计算一个单位为1的正方形的对角线的时候,就出了问题,发现对角线不是个有理数。这个问题就非常严重了,因为毕达哥拉斯认为所有的数都是有理数。其实毕达哥拉斯心里面差不多也有点眉目,认为根号2大概不是个有理数,所以他学生发现了,发现之后还告诉别人,对于毕达哥拉斯来说,这是不得了的大事情,后来他就把这个学生给沉到海里去了。所以发现无理数这个事情是付出生命的代价。
有了无理数和根号2之后,我们就知道二次方程也可以求解,这是我们在中学学的。这是一个很了不起的事,如果没有根号,我们求解(二次方程)还是一个很困难的事情。
后来又到了三次方程,就是方程再多一个位数。三次方程求解有很长的历史。在1500年以前,中国一个叫王孝通的人已经知道数值解,那是数值解当中做得比较早的人。但是对精确解,中国人没有研究过。
关于三次方程,数学界也有一个很长的故事。这个故事发生在几百年以前,意大利首先有一个数学家叫法罗(Scipione del Ferro),他发现了解三次方程的方法。但是当时还没有复数的概念,所以写出来比较费劲,把正的一边写在一边,把负的那边挪到那一边,正的等于正的。他一想就很困难,那个年代减东西都不能减,就没法配方,所以他发现了一类三次方程的解。他结果写在小本上面,死了之后就交给他的女婿。他女婿也是个数学家,继承了他在大学的位置,把小本给保存起来。
法罗有一个学生叫菲奥利(Antonio Fiore),这个哥们到处吹嘘,说自己知道怎么解决三次方程。后来他碰到另外一个数学家,叫做塔塔里亚(Tartaglia)。塔塔里亚也知道怎么解三次方程,但他们两个解三次方程的方式不一样,后来他们决定要打一次赌,你出30道题,我出30道题。塔塔里亚在比赛的前一天晚上,算了一天,就把解三次方程的秘密弄出来了。而塔塔里亚给菲奥利的方程,菲奥利忙活了一天也做不出来,结果塔塔里亚就赢了。那时候不像现在——你如果知道怎么解方程,你把这个证明写了。他不写出来,放在兜里,作为秘密保持下来。
另外有一个意大利数学家卡尔达诺(Girolamo Cardano),当时在写一本书。他知道塔塔里亚知道怎么解决方程时,就很激动,跟他说:你能不能把这个秘密告诉我。塔塔里亚说:这不能告诉你,我这东西还是个秘密。卡尔达诺说:你告诉我,我发誓,坚决不会告诉别人,等到多少年之后再来发表。后来,卡尔达诺从别的途径知道,很早以前菲奥利就知道这个证明了,所以他就把那个证明写在书里。塔塔里亚很生气:你跟我发誓说不把这个秘密写出来,现在怎么给写出来了?
后来塔塔里亚就要跟卡尔达诺打赌,又要去比赛。卡尔达诺派了一个叫法拉利(Lodovico Ferrari)的学生,跟塔塔里亚比赛。法拉利更高明,他不只是知道复数,还可以用根号负的数在里面做运算,所以他做的东西更精确,结果就赢了。而塔塔里亚不只把所有的钱都输光了,职务也丢了。
所以,那时候做数学是很不容易的,前面丢了命,后面这工作都没了。
到今天,我们有了正数、负数,这个解其实不复杂,稍微懂一点中学数学,方程就能求解了。但在那个年代不容易。
不可解方程

现在我讲不可解方程。关于四次方程按照前面方法也能求解,但五次方程的话,这些科学家就不知道怎么办了。这个问题一直到1802年,由阿贝尔(Niels Henrik Abel)解决。

阿贝尔是个传奇式人物。举一个最简单的例子,大家知道科学里面有诺贝尔奖,数学里有菲尔兹奖,大家通常把菲尔兹奖跟诺贝尔奖做一个比较,这是错的。在1899年的时候,大数学家索菲斯·李(Sophus Lie)就提出来要用阿贝尔的名字做一个奖,来代替诺贝尔奖。由于瑞典和挪威当时分裂了,这个事一直就耽搁了,耽搁了差不多100年。阿贝尔奖第一次颁奖是2003年。
阿贝尔是一个才气极高的数学家,但一辈子是在饥寒交迫中过来的,他只活了26岁,是一个非常不容易的人。他早年做数学,发表很多文章,但是不知道什么原因,找很多工作都被拒绝了。他第一次证明五次方程不可解的时候,用了6页纸写下来。他把讲稿寄给高斯,高斯也没看。他在这个在杂志上发表了,但很多人不认可。
当时发表文章跟现在还不一样。当时发文章你要交钱,现在发表文章,你把文章往杂志一投,给审一下稿,就发了。在当时,你如果发表文章100页,你要交100页的钱,5页就5页的钱。他的文章只有6页纸,因为他没钱,所以这文章写得就不清楚。
你不要笑话,前苏联也是这个样子,前苏联很多数学家写的文章很短,所以我们现在认为苏联数学家写得很精炼,法国数学家很啰嗦。其实不是,因为苏联数学家没钱,他只能写得那么短。
阿贝尔为了证明五次方程不可解,引入了一个我们今天认为很重要的概念,叫群论,所以阿贝尔被认为是群论的创始人之一。
阿贝尔几次到哥廷根、到巴黎去跟大数学家切磋,多以失败告终,因为他写东西都写得不清楚,太精练了,到了巴黎也没有什么收获。阿贝尔所有的荣誉都是在死后得到的。最悲惨的是,他死之后两个星期,他在哥廷根的位置才批下来,寄到家里面,但他已经过世了。这是一个很悲惨的例子。
提到五次方程不可解,还得提到另外一个数学家,叫做伽罗瓦(Évariste Galois)。伽罗瓦是一个法国数学家,你看看他的岁数,大概就活了20岁。这位数学家小时候就有很高的数学天赋,他当时想考法国的高等工科学院,相当于今天的清华大学。高等工科学院当时是法国数学最好的大学,相当于清华大学在上世纪20年代,解放前的清华大学数学系应该是中国最好的。
但他考了两次没考上,只考了法国高等师范学校,相当于中国现在的北京大学。今天北京大学数学当然很厉害,今天法国高师很厉害,但是如果说是解放初期的北京大学,数学确实不怎么样。
伽罗瓦在法国高师的时候就展现出很强烈、很高的数学天赋,但是他常常卷入政治斗争。他属于共和派,为了共和派上街游行,然后坐牢。他在牢房里面碰到一个姑娘,他喜欢那个姑娘,出来之后就为了那个姑娘决斗。他知道对手比他强太多了,也知道他必死无疑,所以他在临死前5天把所有东西写下来,然后寄给大数学家柯西和高斯。这两个数学家不认为他的东西怎么样,一放放了几十年。几十年之后伽罗瓦的东西才被发表。
他所有这些东西都是对的,而且他也独立地发表了群论。他比阿贝尔的高明之处就在于,阿贝尔说一般的五次方程不可解,伽罗瓦说谁给我五次方程,我就能推出来它是可解还是不可解,这是了不起的,
伽罗瓦二十多岁就去世了,经常有人说:如果他今天还继续活着,我们的数学该会是什么样?没办法知道。数学家都是疯子,为了爱情,为了政治,把命都丢掉了。他丢了命确实跟数学没关系的,他要是好好做数学应该没有问题!
我今天在这里要打一个成语,过一会儿到我会把谜底解出来——“方程无解”,打一成语,你如果知道,(先)别说。
等幂和问题

我要讲的第3部分稍微现代化一点,叫做等幂和问题。但这是一个很古老的问题,就是说我给个整数,什么时候整数可以写成两个有理数的k次幂的和?这是一个比较简单的,也是很经典的问题。比如说1等于3/5的平方加4/5的平方,65等于4的平方与7的平方之和。

这跟前面有什么关系?如果前面所有讲的东西都是一元多次方程,一个方程只有一个元,那么这些东西求解不求解的问题相对要简单一些。现在是一个方程里面有两个,甚至多个变量在里面。有两个变量的方程比有一个变量要难得多,为什么呢?我不允许你用根号,如果在整数里求解,那只能是整数;在有理数里求解,只能是有理数。这个问题就比原来的问题要复杂得多的多。
这个问题也有很早的历史。在最早的时候,欧几里得的《几何原本》里面就有这样的问题。《几何原本》被认为是近现代纯数学最系统的一本书。但专门研究这些整数性的方程,其实是在另外一本书。
公元200年,一个叫做丢番图的人(Diophantine)写了一本书,这本书跟中国的《九章算术》差不多,是平行的。《九章算术》列了大概400多个问题,它是列了200多个问题,里面提到:哪些数可以写成两个数的平方?丢番图通过一些验算之后猜测,一个素数能够写成两个数的平方,当且仅当这个数除以4余1。比如说5,那是1+2的平方;11就不能写成两个数的平方,除完4等于3;17没问题,4平方加1。
丢番图的猜想差不多花了1000多年之后才被费马(Pierre de Fermat)证明。费马是个传奇式的人物,首先他不是个数学家,他是个法官。做法官是很孤独的,法官不能跟老百姓平常地聊天,因为担心判决的公正性。所以他平时没事喜欢做一些数学,做完数学之后,就写信给他朋友,但是他从不把证明写给朋友。于是就变成一个非常有趣的事情,他证明了很多定理,但没有一个定理有证明。
其中最出名的一个例子,他把丢番图《算数》那本书里面碰到一个问题,也就是刚才的平方问题,变成了立方问题。然后他在上面写,我已经找到一个绝妙的证明,但这个书的边太小了,我写不下来。他就把那书放那儿了。这个证明300多年之后才被安德鲁·怀斯(Andrew Wiles)在1994年证明。
几十年之后,出现了另外一个大数学家叫欧拉(Leonhard Euler)。欧拉年轻的时候名气也不大,他就把费马的每条定理单独证一遍,但到了最后有一条证不出来,那就是“费马最后定理”(即费马大定理)。
我今天讲的是费马第一个出乎意料的定理,他证明了一个没有平方因子的有理数是两个有理数的和。你把这个数分解之后,每个数因子要么是2,要么4N+1。2很好办,就1+1,但他把4N+1证出来了。
他在某一年的圣诞节给他朋友写信,说我想我已经证出来一个有理数是两个平方数的和!他说我这个证明很绝妙,怎么证的?他说如果一个数能够写成两个数的平方和,假如它不是模4余1,我还可以找一个更小的数,也是满足同样的条件。一直往下推到最后,推不下去了,肯定就做出来了。然后他给这个办法起名叫“无限下降法”。无限下降法是数学领域一个分支,在数论里面是一个最经典的方法。那么同样他从来没有给细节,这个细节的证明几百年之后才有人把它证出来。
费马还有一些有趣的事情很有意思。比如我们大家知道微积分通常认为是牛顿发明的,如果你把牛顿的《数学原理》打开,牛顿是这样说的,他所有的工作都是由于费马工作的影响。因为费马当年在没有微积分的情况下,就已经知道怎么去求切线,在微积分里面叫费马定理。求极大值的时候用费马,求面积一样,费马甚至知道什么叫变分法,这也是一个很了不起的东西。
未来科学

我最后讲讲future science,就是未来科学。我前面二次的问题解决了,三次四次那么解决?剩下的问题,我们没有多少东西。关于三次方程和四次方程之后,我们知道的东西非常少。

一个整数能够写成两个三次实数的平方和,概率只有1/2。这个很邪门,有时候你能够逮得着,有时候逮不着,只有1/2的机会。这猜想之后牵扯到另外一个大猜想,叫做BSD猜想,全称贝赫和斯维纳通-戴尔猜想(Birch and Swinnerton-Dyer 猜想),是2000年美国克雷数学研究所提出的,叫做世纪问题。你解决这个问题就能拿100万美金,也不需要评估。你证了之后,只要文章拿出来,就给你钱。
关于四次以上的等幂和问题,我们知道得更少。1983年,法尔廷斯(Gerd Faltings)证明了,随便给个N,这个方程很可能有解,最多只有有限多的解,不会有无穷多的解。但你要知道,后面这是有理数,如果整数的还好办一些,有理数的话没那么容易。由于这个结果,1986年他拿了菲尔兹奖,
另外一个就是怀尔斯(Andrew Wiles)。这个是费马当年在那个书里面小页上,没有时间写的那个东西。花了350年之后,怀尔斯证明了这个定理,用了现在所有的数学知识,绝对是空白边做不出来的。但我们今天认为费马没有证明,他只是胡说,但也有一些人认为Andrew Wiles可能有别的更妙的证明。
那么另外一个猜想叫做ABC猜想,如果ABC猜想被证实的话,这个方程不只是知道怎么解决,应该有个程序求解。就是说我把这方程输进去之后,计算机程序就能把解输出来了。
这是未来数学当中的两大数学问题,一个是BS猜想,一个是ABC猜想。我想今天下午张益唐要讲另外一个猜想,叫黎曼猜想,在数学里面差不多有这三大猜想。
今天在座的大家都来听听笑话,不是要真的做数学,你要真的做数学没问题,但是你想想看,做数学代价很大,要么是用生命的代价,要么饥寒交迫。但今天设备还是好了很多,我们国家对数学的重视程度,今天跟以往没法比。
那么数学家和非数学上认为,数学家是什么样的?达尔文(Charles Robert Darwin)说,数学家就是在黑盒子里找一个黑帽子的瞎子。数学家在他本来就是个瞎子,在黑屋子里面还找个帽子,那帽子其实也不存在,但是不妨碍他找这个帽子。回过头来说,数学就无解之解。根号负1不存在,没关系,我想象它存在。就像毕达哥拉斯是第一个哲学家,把我们的宇宙分成两部分,一个叫感性宇宙,一个叫理性宇宙。感性宇宙是你可以测得到的,比如物理学、化学;理性宇宙是,你想象到的东西也是宇宙。所以数学是你可以想象的。
还有个数学家说,数学家就是把咖啡转换成定理的机器。所以你现在发现,要建一个数学系,最重要的事情是什么?咖啡机。数学家没事就去喝咖啡,喝完咖啡到办公室再做数学,做不出来之后再喝咖啡,后来再做数学。如果没咖啡他做不出东西,这是一个很重要的事情。
最后,我要揭开前面谜语的谜底,方程无解——求之不得。为什么呢?对我们数学家来说,就是要解没解的方程,这样的话我们才能够延续自己的研究,才能够有自己的生命。



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