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王梓坤院士《学习数学的管见》:学好数学、入门科研的“法宝”
来源:科学出版社数学教育 | 作者:王梓坤 | 2024/5/30 10:10:18 | 浏览:1270 | 评论:0

王梓坤院士《学习数学的管见》:学好数学、入门科研的“法宝”


1979年,王梓坤在南开大学讲课


成功的四个基本条件

学会游泳并不难,但要成为国家队选手就很难。同样,学会一门专业和精通它不完全是一回事。一般地说,要做出较大成绩,四个条件是不可少的:理想、勤奋、毅力和方法。

理想,或者说志气,是我们力量的源泉,是行动的方向,是心灵上的太阳。为建设强大的祖国而学习,为发展科学技术造福人类而工作,是我们的理想。许多革命前辈和科学巨人,不知疲倦地奋斗,直到生命最后一刻,究其原因,主要是由于有崇高的理想。没有远大的理想一般是不会有重大建树的。古人说:“哀莫大于心死”;最大的悲哀,不过于没有理想了。

为了实现理想,必须勤奋,即使天赋独厚,也不例外。大科学家如牛顿、居里夫人,大文豪如鲁迅、巴尔扎克,都是异常勤奋的人。牛顿的助手说:“他(牛顿)很少在二、三点钟以前睡觉,有时到五、六点,……特别是春天或落叶的时候,他常常六个星期,一直在实验室里。不分昼夜,灯火是不熄的,他通夜不眠地守过第一夜,我继续守第二夜,直到他完成他的化学实验。”然而勤奋并不等于毅力。

有些人勤则勤矣,却缺乏毅力。他回避困难,一有阻力就转移方向,不敢坚持在一个重要专题上长期奋斗。他辛辛苦苦地筑了许多土堆;却没有建成一间像样的房子。除理想、勤奋、毅力而外,方法也是重要的。高明的方法可以收到事半功倍的效果,而且富有趣味和启发性。所以,一些大科学家如笛卡儿、爱因斯坦、拉普拉斯等都很重视方法。

具体到数学,由于数学离不开逻辑推理,在学习一种理论或一条定理时,首先要看准推理的终点,即要达到什么目的,需要证明什么结论。其次要掌握推理的起点,即各种有关的公理、定义、概念和条件。第三是要分析推导起点与终点的推理程序,包括证明的思路、方法和用到的计算、公式等等。吃透了推理的程序,往往可以改进原来的证明使之适用于更一般的情况,或在改善原来的条件和结论。

学习数学与研究数学的思想程序有些不同。学数学是由起点推终点,即学习前人如何由已给条件一步一步地推导出结论。研究数学则反其道而行之,常常是由终点推起点。我希望得到结论甲,为了甲必须先有乙,为了乙又必须有丙……。如果丙已足够简单明了,便于应用,就把它当做起点。由此可见,不论是学数学或研究数学,都必须循序渐进,每前进一步,都必须立脚稳固,这是数学方法中的一个显著特点。其它的科学也要循序渐进,不过数学尤其如此。前头没有弄懂,切勿冒进。有如登塔,只有一层一层地上时,才能达到光辉的顶点。

学习的三要项是理解、记忆和练习。知其然以及其所以然,这是理解;然后记住它,并且通过练习以加深理解、增强记忆、应用理论和发展理论。所以这三项都是不可或缺的。对于数学练习尤其重要。通过练习不仅可以增加知识,更重要的是,可以培养我们解决问题的能力。不去水里不能学会游泳,不做足多多而且有一定难度的练习题,是不可能学好数学的。

两种循环与争取主动

“我整天生活在紧张和被动之中”,一位大学生向我诉苦,各门功课的习题像潮水一样涌来,又多又难。课堂上老师讲得很快,还要求抄笔记,但顾得上抄就顾不上听。作业完不成,越堆越多,这怎么办呢?”的确,这是一个带有普遍性的问题。从中学到大学是一个飞跃,中学教本写得简明、清楚,一个公式后面配着几个例题。学生仿着做,大部分作业就可以完成。大学则不然,内容越来越抽象,方法也很灵活,老师的辅导随着年级的上升而减少,对独立工作能力的要求不断提高。

“听课——复习——练习”,又是“听课——复习——练习”,每门功课都是这样重复地进行着。如果听课效率不高,许多地方没有听懂,复习的时间必然增加,做练习的时间必然减少,于是作业完不成,但下一次练习又来了。就这样,他卷入了恶性循环。反之,如果听课效率高,课堂上基本解决了问题,复习就快,练习能按时甚至提前完成。于是他有余力可以预习,或再另看一些参考书;这样他的自学能力越来越强,听课效率也越来越高,他进入了良性循环。常常有这种情况:两极分化非常厉害,两个人入学时水平差不多,但到大学毕业时相差很远,一个甚至可以当另一个的老师。原因固然很多,进入不同的循环也许是其中重要原因之一。

怎样才能使循环成为良性的呢?关键在于预习。如果上课前对老师要讲的内容有了思想准备和大致了解,那么听起来主动多了,只要把重点放在预习时看不懂的地方。由于听课高度集中、有的放矢,所以在课堂上基本上能消灭难点,这样便节省了复习时间。更有甚者,我们可以领会到为什么自己预习时看不懂,卡在那里,思想方法上有什么毛病,从而提高自学的能力。

剩下的问题是:哪里有时间预习呢?主要靠假期。放假时间很多,一部分用来休息和锻炼身体,另一部分用来预习。预习下期要学习的重点课程,哪怕是其中前几章。这样,我们就走在老师讲课的前头,变被动为主动了。

如何攻读数学专著

没有进货的商店不能持久。类似地,缺乏获取新知识的能力,就不能前进。所以在各种独立工作能力之中,自学能力可算是最基本的了。

数学书刊,浩如烟海,一个人的精力有限,只能精读其中几本有代表性的高水平的著作;读懂了这几本,其它的就比较好办。如何选择精读书?首先要确定主攻方向,然后围绕主攻方向,争取老师或先行者的帮助。高水平的著作虽然难读,但读懂了却终身受益。所以,花高代价也是值得的。一般地说,要打好基础,读几本这样的书实是必不可少的。

如何攻读数学专著?先阅读序言、目录以及有关介绍,以便了解本书概况及作好必要的准备。读第一遍时要慢和细,一步一步地循序渐进,这样才能读得深和走得远;正如诸葛亮所说:“非宁静无以远”。

如果贪多图快,又不消化,则必半途而废,读不下去。预防冒进的好方法是做笔记,既动脑又动手。把一些重要的概念、定理及证明仔细地整理一遍,必要时作补充证明,写读书体会;还要做一定数量的习题。一章过后,做一小结。如此前进,直到全书读完,再从头开始读第二遍。

这时,由于大部分细节已经弄懂,读起来会快得多。我们可以把重点放在解决遗留问题上,同时尽量搞清楚各概念之间、各定理之间、各章节之间的内在联系,学习各种证明方法和计算技巧,展望理论的进一步发展。

所以,如果说第一遍是“局部地读”,那么第二遍便主要是“整体地读”了。第二遍过后,原来的问题解决了不少,但又可能会出现一些新问题。我们必须乘胜追击(切勿冷下来),再读第三遍。这时可以顺读,可以反读(从后面往前读),也可以就一些专题有目的地读。反读可以清理源流,专题读可以攻坚,甚至做出新发现。

学习应以自力更生为主,争取外援,参考有关书刊。为此反复几遍,全书的体系也就经络分明,了然在目了。如果还有一些问题,那也不必着急,可以留待以后慢慢解决。

“攻读”与“阅读”是不同的概念。攻者,攻坚也。无坚则无所谓攻。攻读需要勇气和毅力,决非一般的阅读所能比拟。

专题研究的三个阶段

有了一定的专业基础和解题能力,便可开始科研。万事开头难,从学习到科研是一飞跃,不可等闲视之。学习主要是继承前人成果,科研则要解决新问题,或再作出新发现,科研贵在创新。

数学研究的第一步是提出问题。它们可以来自实际,也可以是理论发展中的新问题。数学中分支繁多,发展又极为迅速。今天,世界上恐怕没有一个人敢说通晓全部数学。对于新手来说,起初只能在一个分支工作,待站稳后再逐步扩大战果。即使在一个分支里,要了解它的前沿也非易事,需要争取外援。在科研第一线工作的老师可以给我们介绍情况、提出问题,把我们迅速地带上最前线。

问题明确以后,要尽可能收集有关文献,为此可充分利用《数学评论》及类似期刊。对最重要的文章,要精心攻读,搞得烂熟,以了解前人的成果、思想方法、解题技巧、理论观点等等。

下一步进入攻坚阶段,我们开始进攻,先找出它的薄弱环节,集中全部精力和时间,攻此一点。不过我们可能碰上了钉子,几个月也没有进展。这时得抬起头来看看,需不需要改变策略,从另一点着手,但不可灰心。要知道,高斯说过:“有一条定理的证明折磨了他两年,忽然在一刹间像闪电般想出来了。”高斯尚且如此,我为什么不能再想它一年呢?

下例的思想方法可以参考:

1.我似乎在什么地方碰到过类似的问题,不妨借用那里的方法来试试(类比法)。

2.这个问题太大了,太抽象了,我简直把握不住它。能不能把它分解成几个问题,或再分成几部分,由易而难地各个击破,然后再串起来。(《老子》说:为难于其易,图大于其细。)

3.尽可能举一些具体的例子,或考虑一些特殊的情况,从中找出一般的规律(从具体到抽象,从特殊到一般)。

4.我的计算能力比较强,必须发挥这个优势。先加一些条件,把这个问题算到底,看会得到什么。是骤是马,先牵出一匹来看看。然后我超脱一些,站高一点,把这个结果直观地理解一下,看是否能使用别的更好的方法。也许我会恍然大悟,想出一般的解法(发挥优势)。

5.直观和猜想,在科学发挥中是不可少的。这个问题有什么物理(或几何、或概率)意义吗?我能不能直观地把结果猜出来?这种“发散式思维”,常常会给我们指出道路。不过它很可能是错误的导引,在没有严格的确证以前,我不能轻易相信它。

6.我不知这个结论是否正确,用归纳法试试,先看它当 n=1,...,k 时情况如何,这至少可以提供一点信息。数论中一些定理不就是这样发现的吗?

7.我就卡在这个该死的不等式上。我真傻,为什么不去查数学工具书(手册、公式集等)呢?

8.某人的工作,某个讨论班,与我这个题多少有点关系,也许会从他们那里得到启发。

9.这个问题折磨了我好几个月,搞得我神魂颠倒,坐立不安。我现在要换一换脑筋,到公园去走走,或再找几本好小说看看。不是说,长时间紧张后的短暂松驰有利于灵感的出现吗?

10.我已经有了一些进展,但必须采取客观态度,决不能自我姑息,轻易相信我的结论是正确的。要利用头脑最清醒的时间,再三考验它,它与已有的定理和谐吗?有无反例?由它会得出荒谬的结果吗?证明中的每一步是否都不可动摇?我能否找到另一证明?总之,我必须把错误消灭在摇篮里,要不,它很可能给以后的工作铸成大错。

问题基本上解决了,研究工作便进入第三阶段,即整理提高或付诸应用的阶段。一项较大的研究,需要很长的时间,前后的思路未必一致,弯路走了不少,草稿纸也积累了一大堆。现在需要用统一的思想,简明的叙述,正确的论证,数学的语言,写成一篇规规矩矩的论文,争取发表,以供同好。如果这项研究来自实践,就应让研究成果接受实践的考验,并为实践服务。






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