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每个人的脑袋都擅长数学吗?学不明白是咋回事?
来源:中科院物理所 | 2024/6/4 14:17:31 | 浏览:156 | 评论:0

数学让很多人感到恐惧,但我们天生就对数字敏感。

弗吉尼亚大学数学系主任小野健一(Ken Ono)谈到某个包含圆周率π的一个公式就兴奋不已,π是一个神奇的数字,是圆周长与直径之比。他给我看了《国家地理》的一个片段,节目中尼尔·德格拉斯·泰森(Neil Degrasse Tyson)问他如何向街上的普通人传达数学之美。

作为回答,小野给泰森和我展示了一个关于圆周率的级联分数,即分子是1,分母包含一个分子为1的分数,这个分数的分母也包含一个分子为1的分数,以此类推,无穷无尽。写出来,这个公式看起来就像一个楼梯,当你沿着它的梯级往下追寻时,梯级会逐渐变窄。这个计算公式由英国数学家伦纳德·杰伊·罗杰斯(Leonard Jay Rogers)和自学成才的印度数学家斯里尼瓦萨·拉马努金(Srinivasa Ramanujan)分别独立完成,并不涉及任何比加法、除法和平方数更复杂的计算。“怎么能不说这太神奇了呢?”小野对我说。

我们应该重新规划数学教育,使其促进而不是减弱学习数学的欲望。

作为一个圆周率爱好者——我在朋友中以举办圆周率日派对而出名——我不得不同意他的观点,即这是一个令人眼花缭乱的公式。但并不是每个人都能从分数或数学中看到美。事实上,在美国,数学往往让人感到恐惧多于敬畏。20 世纪 50 年代,一些教育工作者开始在学生中观察到一种他们称之为数学恐惧症的现象,尽管这只是他们在学生身上看到的众多一长串学习恐惧症之一。

斯坦福大学和芝加哥大学 2020 年的一项研究表明,数学焦虑似乎与全世界数学成绩的下降相关。虽然对其根本原因仍有许多疑问,但美国的高中数学成绩往往明显低于其他许多国家。例如,在2018年的国际学生评估项目(PISA)考试中,美国学生的数学成绩在全球排名第30位。

一些学者认为,美国文化中充斥着对数学的负面刻板印象,再加上目前的数学教学方法,这些都导致焦虑情绪长期存在,让使一些孩子认为自己数学不好,无法取得优异成绩。研究表明,人类与生俱来就对数字敏感,即“数感”。数字概念是唯一一个映射到大脑特定区域的高级认知功能之一。换句话说,我们天生就会做基本的数学运算,只是文化阻碍了我们。最近的神经科学、行为学和认知学研究可以帮助我们重新设计数学教育,使其支持而不是破坏学习,甚至在学习的过程中激发对数学神秘之美的热爱。

“数学”这一学科影响深远,范围广泛,从基本算术到代数,再到拓扑学,无所不包。但在最基本的层面上,研究表明,我们每个人都天生具有数量感。人类婴儿早在 6 个月大的时候就能理解这一概念,而此时他们还没有大量接触人类文化或语言。这种语言前的数字感被认为是日后儿童期和成年期数学能力的基石。在一项研究中,研究人员发现,即使在控制了一般智力的情况下,那些婴儿时期就具有较强数字感的3岁儿童在数学成绩测试中的得分也明显更高。2013年,杜克大学的朴俊国(Joonkoo Park)和心理学家伊丽莎白·布兰农(Elizabeth Brannon)研究发现,学生可以通过训练来激发他们的数量估算能力,从而提高他们的数学能力。

这种估计和理解数量的能力可能是作为一种基本生存技能进化而来的。例如,它可以帮助我们的祖先和其他物种的成员迅速判断捕食者的数量是否超过自己,或者在相对于其他物种有更多食物的地方觅食。德国图宾根大学的安德烈亚斯·尼德尔(Andreas Nieder)研究了多种物种的数字感知能力,他认为,在进化树上相距甚远的猴子、鸟类和昆虫等物种中,数字感知系统是独立平行进化的。鸽子可以被训练在木板上啄一定的次数。海豚似乎能够理解“少”这一数字概念,而研究表明,蜜蜂能够掌握“零”的概念。

每个人的脑袋都擅长数学吗?学不明白是咋回事?
图源:Al Mamun Designer / Shutterstock.
然而,科学家们似乎一致认为,只有人类才会用符号精确地表示数字,并且还需要接受教育才能做到这一点。这可能是因为包括算术在内的许多高级数学技能都依赖于语言的使用,只有其中基于数量的判断是前语言的。事实上,如果没有语言,算术难以进行是很难完成的。例如,2004年的一项研究调查了亚马逊语言“蒙杜鲁库”(Mundurukú)的使用者,该语言系统没有表示大于5的数字的词汇,研究发现,对于大于4或5的数字的精确算术,“蒙杜鲁库”的使用者做得并不好。2013年,《神经科学与教育趋势》(Trends in Neuroscience and Education)杂志上发表的一项研究比较了受过教育和未受过教育的西方成年人的相对数学能力,发现他们估算大数的能力存在显著差异。

如果我们与生俱来就有理解数学的能力,并承认数学在认识世界方面的重要性,那么为什么这么多人——主要是西方文化中的人——对数学如此厌恶呢?研究数学和数学教育的学者很难回答这个问题。

也许这与西方人倾向于将数学能力概念化的方式有关。他们经常说“我数学不好”,好像这是一种个性特征,甚至是一种荣誉勋章。威斯康星大学麦迪逊分校数学教授乔丹·艾伦伯格(Jordan Ellenberg)说:“与其他学科相比,我认为人们对数学有更多的固定思维模式,就好像他们‘把旋钮转到了某个设定值‘,这是一个非常糟糕的误解。”

当然,有些孩子确实存在临床学习障碍,但这并不是焦虑、文化迷思或教学不当造成的。发育性计算障碍是指患有与数学相关的学习障碍,有这种障碍的人约占总人口的3%至7%。发育性计算障碍是与阅读障碍(一种与阅读有关的学习障碍)相对应的一种不太为人所知的症状,这两种症状经常同时出现。

但是,认为自己数学学不好可能会一语成谶。有证据表明,认为女性数学能力不如男性的文化假设可能是造成数学成绩性别差距的主要原因。种族成见也会影响数学成绩。美国范德比尔特大学(Vanderbilt University)的埃博妮·麦琪(Ebony McGee)教授花了十多年时间研究系统性种族主义问题。她在她的书中指出,黑人、土著和拉美裔学生经常有“被孤立或被定位为冒名顶替者”的经历,以及其他种族化偏见,这些偏见消耗了他们的精力。

数学焦虑也可能会从老师和父母那里传染给孩子。在2017年的一项研究中,作者写道,“来自美国的证据表明,与高度数学焦虑的成年人互动的孩子,其数学成绩相对于同龄人会受到影响”。斯坦福大学的乔·布勒(Jo Boaler)及其同事们正在为家长们开发一种名为“Struggly”的在线资源,他们认为,孩子们应该因为努力学习和花时间理解数学概念得到奖励,而不仅仅是当他们给出正确答案的时候。“神经科学清楚地表明,每个人都在经历成长的过程,没有谁能突然变得天赋异禀。”Boaler 说到。

长期以来,数学教育工作者面临的一个关键问题是,如何在讲授基本概念和促进深刻理解的同时,平衡课堂上孩子们通常最害怕的部分:记忆和重复。

布勒及其同事主张改革加州数学框架(与共同核心课程并行的一套教学标准),将数学概念归纳为与生活相关的“大概念”。例如,三年级学生可以根据地板砖的形状学习分数和多边形等概念,通常这些概念是被分开讲授的。她说:“通过将数学概念和生活结合起来,教师可以集中精力讲更少的内容,但是这些内容之间的联系会更紧密”。布勒不喜欢定时的记忆练习,她认为这会导致数学焦虑。她说,像7乘8等于56这样的数学事实固然重要,但强调其意义和情景相关性的教学最有助于学生学习这些知识。

数学和音乐在共同的大脑区域中存在相关性

芭芭拉·奥克利(Barbara Oakley)提出了一个相反的观点:她认为,归根结底,学习数学更像是学习语言或音乐。而不是像其他形式的学习。她在一篇个人文章中讲述了她是如何开始学习数学并在晚年成为数学家的。她在文章中写道,重复和记忆是必不可少的,如果只注重理解概念而忽视死记硬背的练习,可能会影响数学学习。这看似是一场辩论,但并非如此——任何课程都不会是纯粹的概念驱动或纯粹的记忆驱动。每个人都需要理解概念,也需要练习使用概念。事实上,在PISA国际学生评估项目的数学评估中,仅靠死记硬背来学习数学的学生成绩一直不如那些注重理解概念之间关系的学生。

一种或许能将概念与练习相结合的方法叫做“分块法”。奥克利在书中写道:“这种方法就是把你需要学习的材料分成‘块’,‘块’就是‘通过意义结合在一起的信息片段’”。这种方法的理念是,通过分解大的问题、概念或过程,你可以集中精力,以可消化的方式解决各个组成部分。

在采访中,奥克利经常以倒车为例。如果你从来没有开过车,你需要思考倒车的整个动作顺序:看后视镜、检查盲点、挂倒挡倒车、转动方向盘等等。但是,一旦你经常倒车,倒车就会成为你的第二天性,你甚至不会去想各个步骤。同样的道理也适用于你尝试学习的任何数学原理。她概述了分块学习的三个步骤:将注意力集中在一个部分上,理解这一部分背后的基本思想,查看其上下文。当你记住并彻底练习每一个信息块时,你就可以将它们整合成概念上有联系的更大的信息块。

在爱尔兰,弗拉维亚·桑托斯(Flávia Santos)的研究小组一直在探索如何利用数学和音乐之间的相互联系来帮助患有计算障碍的孩子。神经科学研究支持这样一种观点,即数学和音乐在相关活动中激活的脑区之间存在相关性。

桑托斯指出,数学和音乐本质上都是带有符号的系统。虽然我们无法证明熟练掌握一种技能会带来另一种技能的卓越,但分数、比率和模式识别对两者都很重要。因此,桑托斯认为,音乐训练可能对数学学习也有好处。研究表明,音乐能增强空间-时间推理能力,而这种能力空间-时间推理能力有助于数学概念的学习。到目前为止,尽管只观察到了小群体的情况,但结果还是很有希望的。例如,2020年发表在《心理学前沿》(Frontiers in Psychology)杂志上的一项研究中,桑托斯的研究小组报告说,在巴西的一个小样本中,涉及唱歌、打击乐和体操的训练与数学测试的分数有正相关的联系。

归根结底,每个孩子都有自己的独特需求,家长可以与老师合作,找出适合自己孩子的方法。但是,一般来说,家长可以通过避免与孩子分担分享自己的数学焦虑,鼓励孩子创造性地解决问题,来培养孩子对数学的热爱。布勒说:“永远不要跟孩子说‘我数学不好’、‘我讨厌数学’,这些话会对学生产生负面影响,而是要努力参与进来,帮助他们将数学视为有趣的谜题。”

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