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直觉与逻辑的碰撞:黎曼与黎曼猜想的诞生
来源:赛先生 | 作者:Marcus du Sautoy | 2024/6/14 14:26:17 | 浏览:176 | 评论:0

导读:
 最近,关于黎曼猜想的一项新研究在数学圈刷屏了。麻省理工学院数学教授Larry Guth和牛津大学菲尔兹奖得主James Maynard的一篇论文,被认为在证明黎曼猜想方面的工作取得重要突破,得到陶哲轩的推荐。
 黎曼猜想或黎曼假设(Riemann hypothesis),被称为“猜想界的皇冠”,由勇士黎曼提出。在数学界,素数被披上了一层最神秘莫测的外衣。其一,一个数字只有两种情况,要么是素数,要么不是素数。抛掷硬币也无法决定一个数字能否被更小的数字整除。其二,没有人否认素数序列看起来就像一个随机选择的数列。随机和无序简直是对数学家的诅咒。黎曼对自己所发现的这一神秘乐章进行了大胆的猜想。于是,他留给了数学界一个难题,就是证明他凭直觉所感的规律客观存在。

[英] 马库斯·杜·索托伊 | 撰文

柏华元 | 翻译
一所位于德国吕讷堡城市的约翰诺依姆文理中学的校长施马尔富斯接收了一个小男孩,他叫伯恩哈德·黎曼。黎曼十分害羞,不擅交际。他来自汉诺威,由祖母抚养成人。1842 年祖母去世后,他不得不搬到吕讷堡,寄住在一位教师的家里。加入新学校后,他沮丧地发现,同龄人都有各自的朋友圈,而他就像一个局外人。

他很想家,可还要时不时遭到其他孩子的取笑。因此,他宁愿长途跋涉,回到他生活在库伊克博尔恩的父亲家里,也不愿和同龄人一起玩耍。

黎曼的父亲是库伊克博尔恩的一位牧师,他对黎曼寄予厚望。尽管黎曼在学校过得并不开心,但是他不想让父亲失望。他学习十分刻苦、认真。可是,他处处追求完美,眼里容不得半点沙子。除非保证他提交的作业答案没有一丁点儿差错,能够获得老师百分之百的好评,否则他不会轻易提交每一份作业。这种精益求精使他心力交瘁,而一次次不能按时上交作业也使老师对他大失所望。他的老师甚至开始怀疑,这个孩子能否顺利通过结业考试。

施马尔富斯正是黎曼的“伯乐”。他指引着这个迷失的小男孩走出困境,继续他的追求完美之路。起初,施马尔富斯就注意到了黎曼显露出的数学才能。因此,他迫切地想要充分开发他的这种潜能。他的图书馆向黎曼敞开了大门。在那里,黎曼可以自由出入;在那里,有一个丰富的数学宝藏,等待着黎曼去挖掘;在那里,黎曼也可以摆脱来自同辈的社交压力。这座图书馆给黎曼开启了一个崭新的世界。来到这个世界,黎曼感到轻松自在,一切尽在掌握之中。很快,他便置身于一个完美、理想化的数学世界。在那里,他以“证明”为乐,是“证明”支撑起他所构筑的那个新世界;在那里,他以数字为友,不断探索隐藏在数字背后的奥秘。

洪堡倡导,教育要将科学的使命从服务于现实社会向发现科学知识之美上转变。作为洪堡的坚定追随者,施马尔富斯将这一理念运用到课堂教学上。他劝导黎曼,少读那些遍布公式和定律的数学书,因为编写这些书本只是为了满足工业国家日益增长的发展需求。他还指导黎曼来潜心研读欧几里得、阿基米德和阿波罗尼斯的经典著作。他们的几何观点,使古希腊人理解了抽象的点线结构,也使古希腊人不拘泥于几何图形的某一特定公式。

有一次,施马尔富斯给黎曼送来一份笛卡儿的几何分析论文,其间夹杂着各种方程和公式。在该论文中提到的机械方法,显然与黎曼日益感兴趣的概念数学背道而驰。不久,在施马尔富斯给好友的回信中,他写道:“显然,那时候的黎曼已经是一名数学家了。他知识渊博,目光敏锐,令老师们自愧不如。”

摆在施马尔富斯书架上的一部大部头,《数论》,是他从法国收集到的。该书由阿德里安 - 马里·勒让德撰写,出版于 1808 年,首次记录了素数计数和对数函数间的奇妙关系。由高斯和勒让德发现的这一关系,只是基于实验证据。随着数值变大,素数个数是否总是近似于高斯或者勒让德的函数给出的结果,还是个未知数。

尽管这部大部头是四开本,有 859 页,但是年轻的黎曼一拿到手就如饥似渴地读起来,只用了 6 天时间就汲取了书里的全部营养。当把这本书完璧归赵时,他一副少年老成状,满怀自信地对老师说:“这是一本好书,其中的关键知识,我已了然于胸。”施马尔富斯简直不敢相信自己的耳朵。直到两年后的结业考试,他就该书的内容测试黎曼,看到黎曼提交的完美答卷后,才不得不相信他所说的。这标志着一个伟大数学家的诞生。感谢勒让德在年轻的黎曼心中种下的一颗种子,在他日后的人生中以最壮美的方式绽放。

结业考试后,黎曼迫不急待地要加入活力四射的新兴大学,成为推动德国教育改革的一员。不过,他的父亲却另有打算。黎曼的家庭并不富裕,他的父亲希望他能在教堂工作。神职人员的工作能给他带来稳定的收入来养活他的妹妹们。汉诺威王国唯一教授神学的大学只有哥廷根大学,而不是那些新兴的大学。前者是在 1734 年,也就是一个世纪前成立的。因此,为了满足父亲的愿望,在 1846 年,黎曼前往了那个湿冷的小镇——哥廷根。

施马尔富斯在年轻的黎曼胸中燃起的数学之火,依然在熊熊燃烧着。带着父亲的殷切希望,他来到哥廷根大学研究神学。但是到那儿的第一年,伟大的高斯和哥廷根大学的科学传统,给他留下了不可磨灭的印象。希腊文和拉丁语讲座对数学课和物理课缴械投降,只是时间的问题。黎曼诚惶诚恐地给父亲写信,希望能从神学转向数学研究。对黎曼而言,父亲的支持就是一切。收到了父亲的祝福,他如释重负,终于能全心投入到大学科研当中了。

很快,面对天赋异禀的黎曼,哥廷根大学也变得渺小了。不到一年,黎曼就穷尽了可以获得的所有资源。高斯此时也上了年纪,已经与大学知识分子生活渐行渐远。自 1828 年起,他一直呆在天文台那儿的住处,只离开过一晚。大学课堂上,他只教授天文学,特别是教授关于如何重新发现“丢失的”谷神星的方法,这个方法是他多年前发现的,并使他由此一战成名。黎曼需要另觅他处,以激励他获得进一步发展。他看到柏林在向他招手,那里是知识分子最活跃的地方。

哥廷根大学和柏林大学的学术氛围迥异,适合的数学家也大不相同。如果不与外界交流新思想、新观点,那么一些人可能一辈子都不会取得成功。而另外一些数学家之所以能获得成功,是因为他们常常将自己置身于与世隔绝之地,在那里,他们能够找到自己的内在力量,点燃思想火花,发现新语言、新方法。黎曼就属于前者,他需要与人交流各种传播的新思想,从而取得突破。因此,他知道,柏林大学就是他最好的去处。

1847 年,黎曼迁往柏林并在那里居住了两年。在那里,他终于能接触到高斯这个沉默的大师在哥廷根大学没有公开的论文。他旁听了狄利克雷的讲座,狄利克雷此后也在黎曼发现素数的奥秘上扮演了重要角色。

在狄利克雷的研讨课上,黎曼结识了许多年轻的研究者,他们都对数学满怀热情。

柏林大学也涌现出了许多其他力量。1848 年爆发的横扫君主制的法国大革命,从巴黎街头一直蔓延到欧洲大部分地区。革命之火在柏林街头已初见端倪,此时的黎曼还在柏林学习。据同龄人说,这对黎曼的影响很大。他加入学生军,在柏林的宫殿保护国王的安全。这是他参与一场非学术性活动,属于他生命中为数不多的一次。据说他连续进行了16 个小时的路障作业。

而对于从巴黎学术界传播过来的数学革命,黎曼的反应并非是一种背叛行为。柏林大学不但吸收了巴黎的政治制度,还引入了来自于巴黎学术界的许多科学杂志和出版物。收到了来自法国颇有影响力的最新期刊《法国科学院报》后,黎曼就把自己关在屋子里,潜心研读数学革命者奥古斯丁 - 路易·柯西的文章。

柯西是大革命时代的弄潮儿,生于 1789 年巴士底狱被攻占后的几周。在那个风雨飘摇的年代,食物匮乏。比起锻炼身体,营养不良的柯西更喜欢脑力活动。数学世界给了他一个避难所。柯西的父亲有一个数学家朋友,也就是约瑟夫 - 路易斯·拉格朗日,他发现了这个男孩的过人天分。他和别人讲道:“你看到那个小男孩了吗?真好!他将超越目前为止我们所有的数学家。”不过他给了柯西的父亲一个有意思的建议:“17 岁之前,不要让他接触数学书。”相反,他建议培育这个孩子的文学素养,这样等他再回过头来研究数学的时候,就能写出自己的数学语言,而不用拾人牙慧了。

结果证明,拉格朗日的建议是对的。使柯西免受外部世界干扰的防洪闸门刚一打开,他就发展出一门如洪水般一发不可收拾的新语言。柯西写就的文章篇幅之长,远远超过了普通文章长度,以至于《法国科学院报》不得不对印刷的文章页数严加限制,这种限制沿用至今。对同龄人而言,柯西的数学语言太过庞大了。挪威数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔在 1826 年写道:“柯西这个疯子。他所做的一切是那么完美,却又让人捉摸不透。起初我简直不知所云;现在我大概有些了解了。”阿贝尔继续着巴黎所有数学家都在进行的研究,柯西则独树一帜,潜心研究着“纯粹数学”:“当其他人都局限于电磁学和其他物理科学时,柯西已经走在时代前面,懂得了如何来正确对待数学。”

在柯西的带领下,学生们都潜心于数学研究中,将数学在实际中的应用抛之脑后。这引起了巴黎当局的警觉,使柯西深受其扰。当柯西在巴黎综合理工学院演讲时,院长就给他写信,指责他沉迷于抽象数学。信中这样写道:“很多人认为,教授纯粹数学,将会使学校越来越偏离应有的轨道。这种不必要的偏爱,简直是对其他分支学科的伤害。”因此,年轻的黎曼对柯西赞赏有加,这也许就不足为奇了。

这些新思想给黎曼打开了一扇未知世界的大门,他沉溺其中,几乎成了一个隐士。当同龄人还不知所云时,他已经呕心沥血地研读完了柯西的著作。黎曼露面几周之后宣称:“这是数学的一个新领域。”使黎曼和柯西感兴趣的,正是这一新事物——虚数。

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虚数:新的数学远景

-1 的平方根,作为虚数的基本构成要素,从术语上来看,似乎有些自相矛盾。有些人认为,是否承认存在这种数字,能判断出一个人是否为数学家。实现创新性飞跃,需要进入这一片数学世界。乍一看,它似乎和这个物理世界没什么关系。这个物理世界似乎是由那些平方根永远是正数的数字构成的。然而,虚数不止是抽象的游戏。它们把握了 20世纪亚原子粒子学的命脉。没有数学家的探索素数之旅,就没有人们的大规模遨游天际之旅。这个新世界的出现,给了那些坚守传统数字的人们温柔一击。

从欧拉开始,数学家们纷纷调转枪头,转而开发虚数这块处女地。寻找数学元素间的新关系一时大热起来。

1849 年,黎曼回到了哥廷根大学,以求在高斯的指导下完成博士论文的写作。正是在这一年,高斯在给朋友恩克的信中,提到他儿时发现的素数和对数函数的关系。虽然高斯可能和哥廷根大学的同事们讨论过这一发现,素数还是未能在黎曼心中激起一丝涟漪。他正沉迷于法国数学家新开辟的数学领域,一心想要探索那个由虚数构建的神秘函数世界。

继欧拉首次涉足这一新领域后,柯西紧随其后,接过欧拉手中的接力棒,开始致力于将其发展为一门严谨的学科。尽管法国人在使用方程及公式上很有一套,但是德国实施的教育改革,使人们的世界观重新趋向于概念化。黎曼已经摩拳擦掌,准备抓住这一大好时机了。到 1851年 11 月,他将脑海中的那些想法一一付诸笔下,并向哥廷根大学教务委员会提交了自己的论文。显然,他提出的这些想法打动了高斯。高斯大赞黎曼的博士论文,称其集“创造性、活力、真正的数学思维、令人赞赏的原创性”于一身。

黎曼给父亲写信,迫不及待地告诉他自己取得的成就。他写道:“我相信,完成博士论文后,我的前途将一片光明;同时,我希望,自己将来能写得更快、更流畅,尤其是踏入社会后。”但是,哥廷根大学的生活远不如一开始在柏林那样令他心潮澎湃。这所大学有些沉闷、保守。而黎曼也没有足够的自信来参加那些老学者们举办的学术活动。在哥廷根大学,他能接触到的学生就更少了。他总是放不下对身边人的戒备,在社交中从来没有真正放松过。“在这儿,他行事古怪,曾做过最奇怪的事情,只是因为他相信,没人可以理解他。”与黎曼同时期的理查德·戴德金这样写道。黎曼患上了抑郁症,时不时要饱受抑郁症发作的折磨。他满脸络腮胡子,任由脸上这些黑色的胡须不断生长。似乎只有这样,他才能获得内心的片刻安宁。他经济状况堪忧,靠辅导六个学生过活。生活对他来说,充满未知数。工作重负加上贫穷这座大山,压得他喘不过气来,使他在 1854 年一度崩溃。然而,当狄利克雷这位柏林数学界的明星访问哥廷根大学时,他那抑郁之情立即一扫而空,脸上露出久违的微笑。

狄利克雷同样十分欣赏黎曼这位谦谦君子,还发现黎曼在探索数学之路上能勇于创新,不落窠臼。有时候,狄利克雷甚至会将黎曼从图书馆里拽出来,两人一起漫步在哥廷根的乡间小路上。黎曼用近乎道歉的语气向父亲解释道,这些“偷得浮生半日闲”的时光,比闷在屋里看数学书对其学术更有助益。正是当两人穿越下萨克森州森林时,狄利克雷和黎曼的对话,使黎曼灵光乍现,打开了通往素数世界的又一扇大门。

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ζ 函数:数学和音乐之间的桥梁

19 世纪 20 年代在巴黎度过的那段时光中,狄利克雷潜心研读高斯年轻时写就的伟大著作《算术研究》。尽管高斯这本书标志着数论开始作为一门独立学科,但是它的内容对很多人来说还是十分晦涩,他们读不懂高斯眼中的简练语言。不过,狄利克雷很乐意挑战这块难啃的硬骨头。每天晚上,他都把这本书放在枕头旁,希望第二天早上阅读时能灵光一闪,忽然顿悟。高斯这部著作被称为“七封印之书”,但在狄利克雷的艰苦努力和不懈追求下,这些封印被一一解开,里面的宝藏也得以公之于世。

狄利克雷尤其对高斯的时钟计算器感兴趣。他也相当好奇那个基于费马发现的规律而做出的猜想。假设时钟计算器的刻度是 N 小时,然后输入不同的素数,根据费马的猜想,那么一定总会有素数让时针指向 1(点)。再举个例子,假如时钟计算器的刻度是 4 小时,那么就会有无穷多的素数,它们被 4 整除后的余数是 1。这个数列就是 5, 13, 17, 29, …。

1838 年,狄利克雷 33 岁时证明了费马直觉的正确性,在数论历史上写下了浓墨重彩的一笔。他融合了数学上一些看似不相关的领域的观点。欧几里得曾经利用简单的逻辑推理巧妙地证明了存在无穷多个素数。与之不同的是,狄利克雷利用了欧拉时代数学领域出现的一个复杂函数。它叫作 ζ 函数,用希腊字母 ζ 表示。

欧拉重写公式,激励了狄利克雷利用 ζ 函数,来证明费马的以下猜想:无穷多个素数在时钟计算器上将指向 1 点。欧几里得的思想对证明费马的猜想毫无用处,而欧拉的这一证明给了狄利克雷新的启发。他开始潜心研究那些在时钟计时器上显示 1 点的素数。这种方法成功了!狄利克雷是借助欧拉的具体思想来发现素数新规律的第一人。这在理解这些特别的数字上前进了一大步,但是距离获得“圣杯”(这里指黎曼假设)还有很长一段路要走。

随着狄利克雷搬到哥廷根,他对 ζ 函数的热情感染到黎曼也只是时间问题。狄利克雷大概也同黎曼讨论过这个无穷级数的强大力量。但是,黎曼当时满脑子想着的仍是柯西所构筑的虚数世界。对他来说,ζ 函数只代表另一种令人感兴趣的函数,它可以输入虚数,而不是为其他人所熟悉的普通数(指实数)。

黎曼眼前开始浮现出一幅奇怪的新画面。桌上堆满了他潦草涂写的草稿纸,写得越多,他就越兴奋。他发现自己被吸进了虫洞,使他从抽象的虚数世界进入了素数的世界中。突然,他看到一种方法,或许能解释高斯在素数个数猜想上能够如此精确的原因。有了 ζ 函数,黎曼似乎就抓住了解决高斯素数猜想的关键。它将使高斯的预测得到证明,这是高斯本人最梦寐以求的事情。数学家将最终确信,随着数据量越来越大,高斯的对数积分和真正的素数数量的百分数差会越来越小。黎曼的发现不仅仅能解决高斯素数猜想,还有其他更深远的意义。他发现自己可以从完全不同的新角度来观察素数。ζ 函数忽然谱写了一首乐章,可能揭示出素数之奥秘。

学生时代使黎曼吃尽苦头的完美主义性格,几乎阻断了黎曼记录一切发现的可能。他深受高斯的影响,认为只能发表完美无缺的证明。即使这样,他还是感到有种力量,召唤着他去解释聆听到的这首新乐章。他成为了柏林科学院的一员,新成员需要汇报自己最近的研究内容。这给了他把这些思想发表成论文的契机。这是他向科学院致谢的最佳方式,也是对狄利克雷谆谆教导的最好回报,更能给自己过去两年的博士生涯画上一个完美的句号。毕竟,柏林是黎曼生命中一个重要的存在。在那儿,他第一次了解到神秘的虚数,打开了新世界的大门。

1859 年 11 月,黎曼在柏林科学院的月报上发表了一篇论文,记录了自己的发现。这篇论文长达 10 页,密密麻麻记载的都是算术题,是黎曼发表的唯一一篇关于素数这一主题的论文。然而,正是这篇论文彻底改变了数学家理解素数的方式。ζ 函数给了黎曼一台可以令素数现身的观察镜。正如《爱丽丝梦游仙境》写的那样,黎曼的论文就像一个兔子洞,吸引着数学家们从他们熟悉的数字世界进入一片数学新大陆,这里的一切似乎不太符合常理。随后的几十年间,数学家们逐渐理解了这一新视角,他们意识到黎曼假设存在的重要意义,及其闪烁着的智慧光芒。

尽管包含真知灼见,但是这篇长达 10 页的论文让人有一种深深的挫败感。和高斯一样,黎曼写东西时常常会有所保留。许多引人瞩目的声明都由结果组成,而这些结果正如黎曼所说,他可以证明,但还没做好发表的准备。在某种程度上,这是一个奇迹——虽然存在缺陷,但他仍能将有关素数的内容整理成论文。如果黎曼继续拖延,尤其是承认即使他自己也不能自圆其说的话,那么我们很有可能与这样一个猜想失之交臂了。在他长达 10 页的文稿当中隐藏着一道几乎不为人注意的谜题,它的答案在今天被贴上百万美元的标签。这道谜题就是黎曼假设。

黎曼在论文中做出过很多声明,而在黎曼假设中,黎曼做出的声明却与众不同。他坦承,黎曼假设仍存在很多局限性。他这样说道:“对于此,人们当然想看到严谨的证明,但是几次无功而返后我就将其抛诸脑后了,因为我做此研究并不是为了实现此目的。”黎曼在柏林科学院发表这篇论文,主要是为了证明,高斯的方程在素数数目增加时能给出更优的近似值。不过他发现的工具最终证实了高斯素数猜想,即使这看起来遥不可及。虽然黎曼没能给出全部答案,但是这篇论文为数学这门学科指明了一个全新的方向,也为日后创立数论奠定了基础。

黎曼深知,自己之所以成功,是因为站在巨人的肩上。没有欧拉创建的 ζ 函数公式,就没有自己绘制出的 ζ 函数图景。其中前者是借助欧拉乘积构建而成的。黎曼意识到,如果素数和零点共同构成同一片图景的话,那么二者之间必定有所关联。这是由两种方式构建的同一对象。天才如黎曼,最终发现素数和零点其实出现在同一方程的两边。

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素数的乐章

数个世纪以来,数学家们都在殚精竭虑地聆听素数之声,然而听到的只是一片随机的噪声。这些数字就像随机分布在数学乐谱上的音符一样,听不出什么曲调。现在,黎曼有了“新耳朵”,就能聆听这些神秘之音了。黎曼在 ζ 函数图景上创建的正弦函数,可以揭示其中隐藏的和谐韵律。

发表那篇 10 页的论文后,黎曼度过了一段短暂的幸福时光。继恩师高斯和狄利克雷后,他被授予大学教授一职。1857 年,作为家庭支柱的大哥去世了。他的妹妹们便来到哥廷根寻求庇护。一家人在一起了,这使黎曼多了份家庭责任感。他顿时干劲十足起来,不再像之前那样郁郁寡欢,也很少遭受抑郁症的折磨了。担任教授后,他的薪水丰厚,再也不用过学生时代的那种苦日子了。至少他可以租得起像样的房子,甚至能雇得起管家,这样他就能有时间沉浸在自己的数学世界里了。在那里,他任思绪泉涌,碰撞出思想之新火花。

不过,他再也没回到素数的研究主题上。他继续跟着自己的几何直觉走,并发展出一套空间几何理论,这为爱因斯坦发现相对论奠定了基础。幸运之神似乎在眷顾着他。1862 年,他达到人生的巅峰,和妹妹的朋友埃莉斯·科赫喜结连理。但是不到一个月,他就患上了胸膜炎。此后健康问题便一直困扰着他。很多时候,他就躲在意大利的乡村小镇里,在那儿寻求身心的慰藉。比萨是他最流连忘返的地方,他唯一的孩子艾达就于 1863 年 8 月出生在那里。黎曼是如此享受意大利之行,不仅仅因为这里气候温和,是个疗养圣地,还因为这里的学术氛围开放,学术包容性也很强,对他提出的各种革命性思想总是敞开友好的大门。这是他一生难忘的经历。

黎曼最后一次去往意大利,不是为了躲避哥廷根潮湿阴冷天气的侵袭,而是为了躲避一支军队的入侵。1866 年,汉诺威和普鲁士的军队在哥廷根发生冲突。黎曼发现自己被困在了城门外的住所内,也就是高斯曾居住过的那个破旧天文台。考虑到紧张的局势,黎曼赶紧逃往意大利。这次惊吓使他原本就羸弱的身体雪上加霜。在发表那篇关于素数的论文 7 年之后,黎曼就英年早逝,被肺结核夺去了生命。他离开这个世界时只有 39 岁。

黎曼走后,其住所一片狼藉。管家见此,便准备将黎曼很多未发布的手稿付之一炬。幸好哥廷根大学的教职员工及时赶来,拦下了管家,抢救回了一部分手稿。那些幸存的手稿被交给了黎曼的遗孀。此后数年,它们就被遗忘在角落里,不见天日。如果不是管家喜欢清理他的书房,那么人们又会在那里发现什么呢?这值得玩味一番。黎曼曾在那篇 10 页的论文里写道,他相信自己可以证明大多数零点都会出现在那条假想线上。

一向追求完美的他,并没有写下证明过程,而是话锋一转,接着写道,现在只是时候未到,时候一到自会公布。从他那些未发布的手稿中,并没有发现关于该证明的蛛丝马迹。时至今日,数学家们也未能攻克这一难题。费马曾经宣称自己已经证明了那个大定理。同样,黎曼那些消失的手稿,也激励着一代代数学家义无反顾地踏上一条布满荆棘的证明之路。

大约 50 年之后,那些从管家手中幸存的手稿才得以重见天日。从这些手稿中,人们沮丧地发现,黎曼证明出来的东西,未发表的数量远多于已发表的。黎曼曾在一些文稿中详细列举了一些证明结果。他也曾暗示过,对于这些结果,他可以给出证明过程。不过很不幸,这些手稿都被尽职尽责的管家一把厨房之火烧得只剩灰烬,永远消失在历史的长河中

导读:
 最近,关于黎曼猜想的一项新研究在数学圈刷屏了。麻省理工学院数学教授Larry Guth和牛津大学菲尔兹奖得主James Maynard的一篇论文,被认为在证明黎曼猜想方面的工作取得重要突破,得到陶哲轩的推荐。
 黎曼猜想或黎曼假设(Riemann hypothesis),被称为“猜想界的皇冠”,由勇士黎曼提出。在数学界,素数被披上了一层最神秘莫测的外衣。其一,一个数字只有两种情况,要么是素数,要么不是素数。抛掷硬币也无法决定一个数字能否被更小的数字整除。其二,没有人否认素数序列看起来就像一个随机选择的数列。随机和无序简直是对数学家的诅咒。黎曼对自己所发现的这一神秘乐章进行了大胆的猜想。于是,他留给了数学界一个难题,就是证明他凭直觉所感的规律客观存在。

[英] 马库斯·杜·索托伊 | 撰文

柏华元 | 翻译
一所位于德国吕讷堡城市的约翰诺依姆文理中学的校长施马尔富斯接收了一个小男孩,他叫伯恩哈德·黎曼。黎曼十分害羞,不擅交际。他来自汉诺威,由祖母抚养成人。1842 年祖母去世后,他不得不搬到吕讷堡,寄住在一位教师的家里。加入新学校后,他沮丧地发现,同龄人都有各自的朋友圈,而他就像一个局外人。

他很想家,可还要时不时遭到其他孩子的取笑。因此,他宁愿长途跋涉,回到他生活在库伊克博尔恩的父亲家里,也不愿和同龄人一起玩耍。

黎曼的父亲是库伊克博尔恩的一位牧师,他对黎曼寄予厚望。尽管黎曼在学校过得并不开心,但是他不想让父亲失望。他学习十分刻苦、认真。可是,他处处追求完美,眼里容不得半点沙子。除非保证他提交的作业答案没有一丁点儿差错,能够获得老师百分之百的好评,否则他不会轻易提交每一份作业。这种精益求精使他心力交瘁,而一次次不能按时上交作业也使老师对他大失所望。他的老师甚至开始怀疑,这个孩子能否顺利通过结业考试。

施马尔富斯正是黎曼的“伯乐”。他指引着这个迷失的小男孩走出困境,继续他的追求完美之路。起初,施马尔富斯就注意到了黎曼显露出的数学才能。因此,他迫切地想要充分开发他的这种潜能。他的图书馆向黎曼敞开了大门。在那里,黎曼可以自由出入;在那里,有一个丰富的数学宝藏,等待着黎曼去挖掘;在那里,黎曼也可以摆脱来自同辈的社交压力。这座图书馆给黎曼开启了一个崭新的世界。来到这个世界,黎曼感到轻松自在,一切尽在掌握之中。很快,他便置身于一个完美、理想化的数学世界。在那里,他以“证明”为乐,是“证明”支撑起他所构筑的那个新世界;在那里,他以数字为友,不断探索隐藏在数字背后的奥秘。

洪堡倡导,教育要将科学的使命从服务于现实社会向发现科学知识之美上转变。作为洪堡的坚定追随者,施马尔富斯将这一理念运用到课堂教学上。他劝导黎曼,少读那些遍布公式和定律的数学书,因为编写这些书本只是为了满足工业国家日益增长的发展需求。他还指导黎曼来潜心研读欧几里得、阿基米德和阿波罗尼斯的经典著作。他们的几何观点,使古希腊人理解了抽象的点线结构,也使古希腊人不拘泥于几何图形的某一特定公式。

有一次,施马尔富斯给黎曼送来一份笛卡儿的几何分析论文,其间夹杂着各种方程和公式。在该论文中提到的机械方法,显然与黎曼日益感兴趣的概念数学背道而驰。不久,在施马尔富斯给好友的回信中,他写道:“显然,那时候的黎曼已经是一名数学家了。他知识渊博,目光敏锐,令老师们自愧不如。”

摆在施马尔富斯书架上的一部大部头,《数论》,是他从法国收集到的。该书由阿德里安 - 马里·勒让德撰写,出版于 1808 年,首次记录了素数计数和对数函数间的奇妙关系。由高斯和勒让德发现的这一关系,只是基于实验证据。随着数值变大,素数个数是否总是近似于高斯或者勒让德的函数给出的结果,还是个未知数。

尽管这部大部头是四开本,有 859 页,但是年轻的黎曼一拿到手就如饥似渴地读起来,只用了 6 天时间就汲取了书里的全部营养。当把这本书完璧归赵时,他一副少年老成状,满怀自信地对老师说:“这是一本好书,其中的关键知识,我已了然于胸。”施马尔富斯简直不敢相信自己的耳朵。直到两年后的结业考试,他就该书的内容测试黎曼,看到黎曼提交的完美答卷后,才不得不相信他所说的。这标志着一个伟大数学家的诞生。感谢勒让德在年轻的黎曼心中种下的一颗种子,在他日后的人生中以最壮美的方式绽放。

结业考试后,黎曼迫不急待地要加入活力四射的新兴大学,成为推动德国教育改革的一员。不过,他的父亲却另有打算。黎曼的家庭并不富裕,他的父亲希望他能在教堂工作。神职人员的工作能给他带来稳定的收入来养活他的妹妹们。汉诺威王国唯一教授神学的大学只有哥廷根大学,而不是那些新兴的大学。前者是在 1734 年,也就是一个世纪前成立的。因此,为了满足父亲的愿望,在 1846 年,黎曼前往了那个湿冷的小镇——哥廷根。

施马尔富斯在年轻的黎曼胸中燃起的数学之火,依然在熊熊燃烧着。带着父亲的殷切希望,他来到哥廷根大学研究神学。但是到那儿的第一年,伟大的高斯和哥廷根大学的科学传统,给他留下了不可磨灭的印象。希腊文和拉丁语讲座对数学课和物理课缴械投降,只是时间的问题。黎曼诚惶诚恐地给父亲写信,希望能从神学转向数学研究。对黎曼而言,父亲的支持就是一切。收到了父亲的祝福,他如释重负,终于能全心投入到大学科研当中了。

很快,面对天赋异禀的黎曼,哥廷根大学也变得渺小了。不到一年,黎曼就穷尽了可以获得的所有资源。高斯此时也上了年纪,已经与大学知识分子生活渐行渐远。自 1828 年起,他一直呆在天文台那儿的住处,只离开过一晚。大学课堂上,他只教授天文学,特别是教授关于如何重新发现“丢失的”谷神星的方法,这个方法是他多年前发现的,并使他由此一战成名。黎曼需要另觅他处,以激励他获得进一步发展。他看到柏林在向他招手,那里是知识分子最活跃的地方。

哥廷根大学和柏林大学的学术氛围迥异,适合的数学家也大不相同。如果不与外界交流新思想、新观点,那么一些人可能一辈子都不会取得成功。而另外一些数学家之所以能获得成功,是因为他们常常将自己置身于与世隔绝之地,在那里,他们能够找到自己的内在力量,点燃思想火花,发现新语言、新方法。黎曼就属于前者,他需要与人交流各种传播的新思想,从而取得突破。因此,他知道,柏林大学就是他最好的去处。

1847 年,黎曼迁往柏林并在那里居住了两年。在那里,他终于能接触到高斯这个沉默的大师在哥廷根大学没有公开的论文。他旁听了狄利克雷的讲座,狄利克雷此后也在黎曼发现素数的奥秘上扮演了重要角色。

在狄利克雷的研讨课上,黎曼结识了许多年轻的研究者,他们都对数学满怀热情。

柏林大学也涌现出了许多其他力量。1848 年爆发的横扫君主制的法国大革命,从巴黎街头一直蔓延到欧洲大部分地区。革命之火在柏林街头已初见端倪,此时的黎曼还在柏林学习。据同龄人说,这对黎曼的影响很大。他加入学生军,在柏林的宫殿保护国王的安全。这是他参与一场非学术性活动,属于他生命中为数不多的一次。据说他连续进行了16 个小时的路障作业。

而对于从巴黎学术界传播过来的数学革命,黎曼的反应并非是一种背叛行为。柏林大学不但吸收了巴黎的政治制度,还引入了来自于巴黎学术界的许多科学杂志和出版物。收到了来自法国颇有影响力的最新期刊《法国科学院报》后,黎曼就把自己关在屋子里,潜心研读数学革命者奥古斯丁 - 路易·柯西的文章。

柯西是大革命时代的弄潮儿,生于 1789 年巴士底狱被攻占后的几周。在那个风雨飘摇的年代,食物匮乏。比起锻炼身体,营养不良的柯西更喜欢脑力活动。数学世界给了他一个避难所。柯西的父亲有一个数学家朋友,也就是约瑟夫 - 路易斯·拉格朗日,他发现了这个男孩的过人天分。他和别人讲道:“你看到那个小男孩了吗?真好!他将超越目前为止我们所有的数学家。”不过他给了柯西的父亲一个有意思的建议:“17 岁之前,不要让他接触数学书。”相反,他建议培育这个孩子的文学素养,这样等他再回过头来研究数学的时候,就能写出自己的数学语言,而不用拾人牙慧了。

结果证明,拉格朗日的建议是对的。使柯西免受外部世界干扰的防洪闸门刚一打开,他就发展出一门如洪水般一发不可收拾的新语言。柯西写就的文章篇幅之长,远远超过了普通文章长度,以至于《法国科学院报》不得不对印刷的文章页数严加限制,这种限制沿用至今。对同龄人而言,柯西的数学语言太过庞大了。挪威数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔在 1826 年写道:“柯西这个疯子。他所做的一切是那么完美,却又让人捉摸不透。起初我简直不知所云;现在我大概有些了解了。”阿贝尔继续着巴黎所有数学家都在进行的研究,柯西则独树一帜,潜心研究着“纯粹数学”:“当其他人都局限于电磁学和其他物理科学时,柯西已经走在时代前面,懂得了如何来正确对待数学。”

在柯西的带领下,学生们都潜心于数学研究中,将数学在实际中的应用抛之脑后。这引起了巴黎当局的警觉,使柯西深受其扰。当柯西在巴黎综合理工学院演讲时,院长就给他写信,指责他沉迷于抽象数学。信中这样写道:“很多人认为,教授纯粹数学,将会使学校越来越偏离应有的轨道。这种不必要的偏爱,简直是对其他分支学科的伤害。”因此,年轻的黎曼对柯西赞赏有加,这也许就不足为奇了。

这些新思想给黎曼打开了一扇未知世界的大门,他沉溺其中,几乎成了一个隐士。当同龄人还不知所云时,他已经呕心沥血地研读完了柯西的著作。黎曼露面几周之后宣称:“这是数学的一个新领域。”使黎曼和柯西感兴趣的,正是这一新事物——虚数。

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虚数:新的数学远景

-1 的平方根,作为虚数的基本构成要素,从术语上来看,似乎有些自相矛盾。有些人认为,是否承认存在这种数字,能判断出一个人是否为数学家。实现创新性飞跃,需要进入这一片数学世界。乍一看,它似乎和这个物理世界没什么关系。这个物理世界似乎是由那些平方根永远是正数的数字构成的。然而,虚数不止是抽象的游戏。它们把握了 20世纪亚原子粒子学的命脉。没有数学家的探索素数之旅,就没有人们的大规模遨游天际之旅。这个新世界的出现,给了那些坚守传统数字的人们温柔一击。

从欧拉开始,数学家们纷纷调转枪头,转而开发虚数这块处女地。寻找数学元素间的新关系一时大热起来。

1849 年,黎曼回到了哥廷根大学,以求在高斯的指导下完成博士论文的写作。正是在这一年,高斯在给朋友恩克的信中,提到他儿时发现的素数和对数函数的关系。虽然高斯可能和哥廷根大学的同事们讨论过这一发现,素数还是未能在黎曼心中激起一丝涟漪。他正沉迷于法国数学家新开辟的数学领域,一心想要探索那个由虚数构建的神秘函数世界。

继欧拉首次涉足这一新领域后,柯西紧随其后,接过欧拉手中的接力棒,开始致力于将其发展为一门严谨的学科。尽管法国人在使用方程及公式上很有一套,但是德国实施的教育改革,使人们的世界观重新趋向于概念化。黎曼已经摩拳擦掌,准备抓住这一大好时机了。到 1851年 11 月,他将脑海中的那些想法一一付诸笔下,并向哥廷根大学教务委员会提交了自己的论文。显然,他提出的这些想法打动了高斯。高斯大赞黎曼的博士论文,称其集“创造性、活力、真正的数学思维、令人赞赏的原创性”于一身。

黎曼给父亲写信,迫不及待地告诉他自己取得的成就。他写道:“我相信,完成博士论文后,我的前途将一片光明;同时,我希望,自己将来能写得更快、更流畅,尤其是踏入社会后。”但是,哥廷根大学的生活远不如一开始在柏林那样令他心潮澎湃。这所大学有些沉闷、保守。而黎曼也没有足够的自信来参加那些老学者们举办的学术活动。在哥廷根大学,他能接触到的学生就更少了。他总是放不下对身边人的戒备,在社交中从来没有真正放松过。“在这儿,他行事古怪,曾做过最奇怪的事情,只是因为他相信,没人可以理解他。”与黎曼同时期的理查德·戴德金这样写道。黎曼患上了抑郁症,时不时要饱受抑郁症发作的折磨。他满脸络腮胡子,任由脸上这些黑色的胡须不断生长。似乎只有这样,他才能获得内心的片刻安宁。他经济状况堪忧,靠辅导六个学生过活。生活对他来说,充满未知数。工作重负加上贫穷这座大山,压得他喘不过气来,使他在 1854 年一度崩溃。然而,当狄利克雷这位柏林数学界的明星访问哥廷根大学时,他那抑郁之情立即一扫而空,脸上露出久违的微笑。

狄利克雷同样十分欣赏黎曼这位谦谦君子,还发现黎曼在探索数学之路上能勇于创新,不落窠臼。有时候,狄利克雷甚至会将黎曼从图书馆里拽出来,两人一起漫步在哥廷根的乡间小路上。黎曼用近乎道歉的语气向父亲解释道,这些“偷得浮生半日闲”的时光,比闷在屋里看数学书对其学术更有助益。正是当两人穿越下萨克森州森林时,狄利克雷和黎曼的对话,使黎曼灵光乍现,打开了通往素数世界的又一扇大门。

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ζ 函数:数学和音乐之间的桥梁

19 世纪 20 年代在巴黎度过的那段时光中,狄利克雷潜心研读高斯年轻时写就的伟大著作《算术研究》。尽管高斯这本书标志着数论开始作为一门独立学科,但是它的内容对很多人来说还是十分晦涩,他们读不懂高斯眼中的简练语言。不过,狄利克雷很乐意挑战这块难啃的硬骨头。每天晚上,他都把这本书放在枕头旁,希望第二天早上阅读时能灵光一闪,忽然顿悟。高斯这部著作被称为“七封印之书”,但在狄利克雷的艰苦努力和不懈追求下,这些封印被一一解开,里面的宝藏也得以公之于世。

狄利克雷尤其对高斯的时钟计算器感兴趣。他也相当好奇那个基于费马发现的规律而做出的猜想。假设时钟计算器的刻度是 N 小时,然后输入不同的素数,根据费马的猜想,那么一定总会有素数让时针指向 1(点)。再举个例子,假如时钟计算器的刻度是 4 小时,那么就会有无穷多的素数,它们被 4 整除后的余数是 1。这个数列就是 5, 13, 17, 29, …。

1838 年,狄利克雷 33 岁时证明了费马直觉的正确性,在数论历史上写下了浓墨重彩的一笔。他融合了数学上一些看似不相关的领域的观点。欧几里得曾经利用简单的逻辑推理巧妙地证明了存在无穷多个素数。与之不同的是,狄利克雷利用了欧拉时代数学领域出现的一个复杂函数。它叫作 ζ 函数,用希腊字母 ζ 表示。

欧拉重写公式,激励了狄利克雷利用 ζ 函数,来证明费马的以下猜想:无穷多个素数在时钟计算器上将指向 1 点。欧几里得的思想对证明费马的猜想毫无用处,而欧拉的这一证明给了狄利克雷新的启发。他开始潜心研究那些在时钟计时器上显示 1 点的素数。这种方法成功了!狄利克雷是借助欧拉的具体思想来发现素数新规律的第一人。这在理解这些特别的数字上前进了一大步,但是距离获得“圣杯”(这里指黎曼假设)还有很长一段路要走。

随着狄利克雷搬到哥廷根,他对 ζ 函数的热情感染到黎曼也只是时间问题。狄利克雷大概也同黎曼讨论过这个无穷级数的强大力量。但是,黎曼当时满脑子想着的仍是柯西所构筑的虚数世界。对他来说,ζ 函数只代表另一种令人感兴趣的函数,它可以输入虚数,而不是为其他人所熟悉的普通数(指实数)。

黎曼眼前开始浮现出一幅奇怪的新画面。桌上堆满了他潦草涂写的草稿纸,写得越多,他就越兴奋。他发现自己被吸进了虫洞,使他从抽象的虚数世界进入了素数的世界中。突然,他看到一种方法,或许能解释高斯在素数个数猜想上能够如此精确的原因。有了 ζ 函数,黎曼似乎就抓住了解决高斯素数猜想的关键。它将使高斯的预测得到证明,这是高斯本人最梦寐以求的事情。数学家将最终确信,随着数据量越来越大,高斯的对数积分和真正的素数数量的百分数差会越来越小。黎曼的发现不仅仅能解决高斯素数猜想,还有其他更深远的意义。他发现自己可以从完全不同的新角度来观察素数。ζ 函数忽然谱写了一首乐章,可能揭示出素数之奥秘。

学生时代使黎曼吃尽苦头的完美主义性格,几乎阻断了黎曼记录一切发现的可能。他深受高斯的影响,认为只能发表完美无缺的证明。即使这样,他还是感到有种力量,召唤着他去解释聆听到的这首新乐章。他成为了柏林科学院的一员,新成员需要汇报自己最近的研究内容。这给了他把这些思想发表成论文的契机。这是他向科学院致谢的最佳方式,也是对狄利克雷谆谆教导的最好回报,更能给自己过去两年的博士生涯画上一个完美的句号。毕竟,柏林是黎曼生命中一个重要的存在。在那儿,他第一次了解到神秘的虚数,打开了新世界的大门。

1859 年 11 月,黎曼在柏林科学院的月报上发表了一篇论文,记录了自己的发现。这篇论文长达 10 页,密密麻麻记载的都是算术题,是黎曼发表的唯一一篇关于素数这一主题的论文。然而,正是这篇论文彻底改变了数学家理解素数的方式。ζ 函数给了黎曼一台可以令素数现身的观察镜。正如《爱丽丝梦游仙境》写的那样,黎曼的论文就像一个兔子洞,吸引着数学家们从他们熟悉的数字世界进入一片数学新大陆,这里的一切似乎不太符合常理。随后的几十年间,数学家们逐渐理解了这一新视角,他们意识到黎曼假设存在的重要意义,及其闪烁着的智慧光芒。

尽管包含真知灼见,但是这篇长达 10 页的论文让人有一种深深的挫败感。和高斯一样,黎曼写东西时常常会有所保留。许多引人瞩目的声明都由结果组成,而这些结果正如黎曼所说,他可以证明,但还没做好发表的准备。在某种程度上,这是一个奇迹——虽然存在缺陷,但他仍能将有关素数的内容整理成论文。如果黎曼继续拖延,尤其是承认即使他自己也不能自圆其说的话,那么我们很有可能与这样一个猜想失之交臂了。在他长达 10 页的文稿当中隐藏着一道几乎不为人注意的谜题,它的答案在今天被贴上百万美元的标签。这道谜题就是黎曼假设。

黎曼在论文中做出过很多声明,而在黎曼假设中,黎曼做出的声明却与众不同。他坦承,黎曼假设仍存在很多局限性。他这样说道:“对于此,人们当然想看到严谨的证明,但是几次无功而返后我就将其抛诸脑后了,因为我做此研究并不是为了实现此目的。”黎曼在柏林科学院发表这篇论文,主要是为了证明,高斯的方程在素数数目增加时能给出更优的近似值。不过他发现的工具最终证实了高斯素数猜想,即使这看起来遥不可及。虽然黎曼没能给出全部答案,但是这篇论文为数学这门学科指明了一个全新的方向,也为日后创立数论奠定了基础。

黎曼深知,自己之所以成功,是因为站在巨人的肩上。没有欧拉创建的 ζ 函数公式,就没有自己绘制出的 ζ 函数图景。其中前者是借助欧拉乘积构建而成的。黎曼意识到,如果素数和零点共同构成同一片图景的话,那么二者之间必定有所关联。这是由两种方式构建的同一对象。天才如黎曼,最终发现素数和零点其实出现在同一方程的两边。

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素数的乐章

数个世纪以来,数学家们都在殚精竭虑地聆听素数之声,然而听到的只是一片随机的噪声。这些数字就像随机分布在数学乐谱上的音符一样,听不出什么曲调。现在,黎曼有了“新耳朵”,就能聆听这些神秘之音了。黎曼在 ζ 函数图景上创建的正弦函数,可以揭示其中隐藏的和谐韵律。

发表那篇 10 页的论文后,黎曼度过了一段短暂的幸福时光。继恩师高斯和狄利克雷后,他被授予大学教授一职。1857 年,作为家庭支柱的大哥去世了。他的妹妹们便来到哥廷根寻求庇护。一家人在一起了,这使黎曼多了份家庭责任感。他顿时干劲十足起来,不再像之前那样郁郁寡欢,也很少遭受抑郁症的折磨了。担任教授后,他的薪水丰厚,再也不用过学生时代的那种苦日子了。至少他可以租得起像样的房子,甚至能雇得起管家,这样他就能有时间沉浸在自己的数学世界里了。在那里,他任思绪泉涌,碰撞出思想之新火花。

不过,他再也没回到素数的研究主题上。他继续跟着自己的几何直觉走,并发展出一套空间几何理论,这为爱因斯坦发现相对论奠定了基础。幸运之神似乎在眷顾着他。1862 年,他达到人生的巅峰,和妹妹的朋友埃莉斯·科赫喜结连理。但是不到一个月,他就患上了胸膜炎。此后健康问题便一直困扰着他。很多时候,他就躲在意大利的乡村小镇里,在那儿寻求身心的慰藉。比萨是他最流连忘返的地方,他唯一的孩子艾达就于 1863 年 8 月出生在那里。黎曼是如此享受意大利之行,不仅仅因为这里气候温和,是个疗养圣地,还因为这里的学术氛围开放,学术包容性也很强,对他提出的各种革命性思想总是敞开友好的大门。这是他一生难忘的经历。

黎曼最后一次去往意大利,不是为了躲避哥廷根潮湿阴冷天气的侵袭,而是为了躲避一支军队的入侵。1866 年,汉诺威和普鲁士的军队在哥廷根发生冲突。黎曼发现自己被困在了城门外的住所内,也就是高斯曾居住过的那个破旧天文台。考虑到紧张的局势,黎曼赶紧逃往意大利。这次惊吓使他原本就羸弱的身体雪上加霜。在发表那篇关于素数的论文 7 年之后,黎曼就英年早逝,被肺结核夺去了生命。他离开这个世界时只有 39 岁。

黎曼走后,其住所一片狼藉。管家见此,便准备将黎曼很多未发布的手稿付之一炬。幸好哥廷根大学的教职员工及时赶来,拦下了管家,抢救回了一部分手稿。那些幸存的手稿被交给了黎曼的遗孀。此后数年,它们就被遗忘在角落里,不见天日。如果不是管家喜欢清理他的书房,那么人们又会在那里发现什么呢?这值得玩味一番。黎曼曾在那篇 10 页的论文里写道,他相信自己可以证明大多数零点都会出现在那条假想线上。

一向追求完美的他,并没有写下证明过程,而是话锋一转,接着写道,现在只是时候未到,时候一到自会公布。从他那些未发布的手稿中,并没有发现关于该证明的蛛丝马迹。时至今日,数学家们也未能攻克这一难题。费马曾经宣称自己已经证明了那个大定理。同样,黎曼那些消失的手稿,也激励着一代代数学家义无反顾地踏上一条布满荆棘的证明之路。

大约 50 年之后,那些从管家手中幸存的手稿才得以重见天日。从这些手稿中,人们沮丧地发现,黎曼证明出来的东西,未发表的数量远多于已发表的。黎曼曾在一些文稿中详细列举了一些证明结果。他也曾暗示过,对于这些结果,他可以给出证明过程。不过很不幸,这些手稿都被尽职尽责的管家一把厨房之火烧得只剩灰烬,永远消失在历史的长河中


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