吾曰：还想把麦克斯韦方程组研究透彻一点。

师曰：那个只是波动方程，很简单。可继续伽罗瓦群论。上篇写得不错！还可继续深化，方程次数降低的过程，与伽罗瓦群寻找子群的过程，同构。

再次猛醒，此处紧要，而仍晦暗。于是再提笔，以期不辜负师之殷切教导。

我们从1元2次方程，渐次剖析到1元5次方程。

1元2次方程

X² + bX + c = 0

解方程的过程，本质上是方程次数降低的过程，示例如下。

先看正向的方程变换过程。

正向第一步，根据同构映射关系Y = X + 1/2，X同构映射到Y，从X的1元2次方程X² + bX + c = 0变成了Y的1元2次方程Y² + 3/4 = 0，而且消去了1次项。

正向第二步，根据同态映射关系Z = Y²（对应根式扩展），Y同态映射到Z，从Y的1元2次方程Y² + 3/4 = 0变成Z的1元1次方程Z + 3/4 = 0。

再看反向的根式求解过程。

反向第一步，根据Z的线性方程，求得Z。

反向第二步，通过Z，由根式扩展Z = Y²得到成对出现的Y。

反向第三步，通过Y，由同构映射Y = X + 1/2得到对应的X。

伽罗瓦群与系数域和包含根式解的扩展域的关系如下。

所谓伽罗瓦群，即保持系数域不动的扩展域的所有自同构映射组成的群。

1元方程从2次降到1次，对应2阶伽罗瓦群{e, g}找到子群1阶单位元群{e}。

1元3次方程

X³ + bX² + cX + d = 0

解方程的过程，本质上是方程次数降低的过程，示例如下。

由上图可见，可将1元3次方程通过同构映射与3次幂同态映射转变为1元2次方程。

方程次数降低的过程，与伽罗瓦群寻找子群同构。

由上图可见，1元3次方程的根式解扩展域，在相对于1元2次方程所在域的伽罗瓦群（e, f, f²）的同构映射下，所有根式解在根式扩展同态映射Z=P³都会对应到相同Z，即所有伽罗瓦群内的同构映射都保持了Z点不动。

而Z属于变换后的1元2次方程的根式解的扩展域，在相对于1元1次方程所在域（即系数域）的伽罗瓦群（e, g）的同构映射下，可以保持1元1次方程的系数域不动。

1元4次方程

X⁴ + bX³ + cX² + dX + e = 0

解方程的过程，本质上是方程次数降低的过程，示例如下。

方程次数降低的过程，与伽罗瓦群寻找子群同构。

由上图可见，1元4次方程的根式解扩展域，在相对于1元3次方程所在域的伽罗瓦群（e, h）的同构映射下，所有根式解在根式扩展同态映射z=k²都会对应到相同z，即所有伽罗瓦群内的同构映射都保持了z点不动。

而z属于变换后的1元3次方程的根式解的扩展域，依次变换，可以变为1元2次方程，再变为1元1次方程。整合如下。

由上图可见，1元4次方程，可粗略地视为，由1元1次方程经过2次幂函数（Z"=Y²），再经过3次幂函数（Z'=P³），再经过2次幂函数（Z=k²）扩展而来，其中还经过了同构映射变换。

而对应的，可视为循环群的多次扩展，即先从单位元群{e}扩展出第1层扩展群{e, g}（第1层扩展域相对于系数域的伽罗瓦群）, 再扩展出第2层扩展群{e, f, f²}（第2层扩展域相对于第1层扩展域的伽罗瓦群），再扩展出第3层扩展群{e, h}（第3层扩展域相对于第2层扩展域的伽罗瓦群）。

而，最外层即第3层扩展域相对于系数域的扩展群（即1元4次方程根所在的域相对于系数域的伽罗瓦群）可视为1、2、3层扩展群的乘积{e, g} * {e, f, f²} * {e, h}, 第2层扩展域相对于系数域的扩展群可视为1、2层扩展群的乘积{e, g} * {e, f, f²}，第1层扩展域相对于系数域的扩展群即为{e, g} ,而系数域保持自身不动的同构映射为恒等映射单位元群{e}。

由上可见，方程次数降低的过程，与伽罗瓦群寻找子群的过程，同构。

1元5次方程

X⁵ + bX⁴ + cX³ + dX² + eX + f = 0

为什么1元5次方程没有通用的根式解？

以X⁵ - X - 1 = 0为例，它没有通用的根式解。

反证法。假设它有根式解，那么X⁵ - X - 1 = 0 可分解为（X - x₁）（X - x₂）（X - x₃）（X - x₄）（X - x₅）= 0， 那么x₁、x₂、x₃、x₄、x₅在系数域的基础上生成的扩展域的伽罗瓦群，可用循环群逐层扩展而来。

下面我们将证明这不可能。

包含所有3元循环置换的5阶群的子群，是扩展域的同构映射，并能保持系数域不动。那么，包含所有3元循环置换的5阶群的子群，能否由恒等映射单位元群通过循环群逐层扩展而来呢？不能！

我们在<伽罗瓦群论通俗导论 1 扩展的结构——1元5次方程为何没有通用的根式解？> 已经证明包含所有3元循环置换的群的交换子会出现在每一层的扩展群中，而包含所有3元循环置换的群不是可交换群，即没办法通过群的子群（以循环群为等价商群）逐渐缩小到恒等映射单位元群。

下图表明，伽罗瓦群可由循环群（根式扩展）组层扩展而来。

内层合并扩展群 = 总体合并伽罗瓦群 / 外层循环群

下图表明，包含所有3元循环置换的群的交换子也是3元循环置换，会一直出现在所有逐层向内的内层扩展群中，而包含所有3元循环置换的群不是可交换群、进而不是循环群，所以假设的伽罗瓦群无法由循环群逐层扩展而来，即存在1元5次方程无法用根式求解。

如上图，因为循环群是可交换群，所以伽罗瓦群的交换子x⁻¹y⁻¹xy同态映射到外层扩展循环群的像x'⁻¹y'⁻¹x'y'是单位元e。

（因为可交换，所以x'⁻¹y'⁻¹x'y' = x'⁻¹x'y'⁻¹y' = e）

即伽罗瓦群的所有交换子都在伽罗瓦群与外层循环群的商群中，即伽罗瓦群的所有交换子都在内层合并扩展群，依次类推，伽罗瓦群的所有交换子都在每一级缩小的内层合并扩展群中。

而我们在<伽罗瓦群论通俗导论 1 扩展的结构——1元5次方程为何没有通用的根式解？>，已经证明三元循环置换形成的交换子还是三元循环置换，如下

设x =（1,2,3）， y = （3,4,5），

（1,2,3）表示对序号为1，2，3的元素做循环置换。

设序号为1,2,3的元素分别为a,b,c。

那么（a,b,c）在（1,2,3）的循环置换下会变为（c,b,a）, 即位置1的a会到位置2，即位置2的b会到位置3，即位置3的c会到位置1。

x⁻¹y⁻¹xy

=（1,2,3）⁻¹（3,4,5）⁻¹（1,2,3）（3,4,5）

=（3,2,1）（5,4,3）（1,2,3）（3,4,5）

=（3,2,5）

即，三元循环置换形成的交换子还是三元循环置换，并且交换子能映射到所有三元循环置换。

也就是说，所有三元循环置换会一直出现在逐层缩小的内层合并扩展群中，而包含所有三元循环置换的群不是可交换群，也就证明了该群无法由循环群逐层扩展而来，即此类1元5次方程无法用根式求解。

后记

得师指点，将伽罗瓦群论的迷雾又拨开了一点。

师曰：“黑暗再次袭来时，唯有哲学给人类带来慰藉和希望。只有想象是远远不够的，因为生命需要希望，或者说生命本身就是希望。”

时光匆匆流逝，唯师之透彻而不留一点迷雾的探索精神，时时触动了我，叮嘱我，跌倒，不要放弃，困顿，不要沉沦。在难得闲暇时，要继续探索。

师曰：“思想，要有自由探索的大无畏精神。”

吾尝疑惑，思想，何来大无畏？现渐渐有所领悟。若无思想的透彻，行动则盲目片面，勇敢则近于鲁莽。如无思想的自由探索的大无畏，则面对困境中的迷雾，往往苟且偷安，或者鲁莽侥幸。唯有思想的自由探索的大无畏，能冲破一切枷锁，在困境中寻找希望。

大无畏，是天崩地裂之际，也要冲上云霄的顽强精神！

或曰：又开始大放阙词、超雄附体了。

那么，就让我们一起来为新的生命与希望，脚踏实地、坚持不懈的大无畏地探索吧!

参考文献：
《Galois Theory 伽罗瓦群论》，Joseph Rotman
《Galois Theory 伽罗瓦群论》，Emil Artin
《真实与虚拟——后真相时代的哲学》，金观涛
《Elements of Mathematics 数学原本》，布尔巴基