经济学有很多研究方法，如历史分析、逻辑分析、规范分析、定量分析等。思想和方法不是零和关系，并不互相排斥，而是互相补充，缺一不可。经济学研究是一个提出问题、解决问题的过程，前者需要思想，后者需要方法。

那么，经济思想是如何产生的？首先，经济思想来自于学术批判和学术争论。例如，马克思主义政治经济学的主要理论来源就是对英国古典政治经济学的批判继承与创新。其次，思想也来自于时代、来自于现实。“凯恩斯革命”就是一个典型例子。凯恩斯革命产生于20世纪20年代末30年代初的世界经济大萧条。古典经济学没有办法解释为什么大萧条会长时间存在，Keynes（1936）则针对大萧条的经济现实，从有效需求不足的角度进行解释，并提出了乘数效应的学理基础，主张通过政府干预刺激需求的方法来促进经济增长。另一个例子是Engle（1982）的ARCH波动模型。在20世纪70年代，世界经济出现了剧烈波动。首先是美国取消美元和黄金挂钩的固定汇率制度，实行浮动汇率管理制度；与此同时，世界上发生了第一次石油危机，石油生产国成立了具有卡特尔性质的石油输出国家组织，造成了油价大幅上涨以及剧烈波动；20世纪70年代末80年代初，美国经济出现了“滞胀”现象。所有这些极大地增加了当时经济的不确定性，各种经济主体包括经济决策者都迫切需要对经济不确定性进行定量测度，并在决策中考虑到不确定性的影响。ARCH模型就是在这样的背景下诞生的。

那么，经济学为什么需要数学？数学在经济学研究中发挥了什么作用？数学作为一种精确的逻辑语言与工具，能够使经济学分析严谨化。当然，也有其他方法能够使经济学分析严谨化， 例如，“以彼之矛，攻其之盾”的学术争论也能使逻辑分析严谨化。

经济现象错综复杂，若想透过经济现象揭示经济的本质特征，则需要对经济现象进行提炼，将其上升为理论。数学作为一种抽象思维工具，特别适用于从复杂经济现象中揭示其本质关系。恩格斯说过，数学是现实世界中的空间形式和数量关系，任何一门科学的真正完善在于数学工具的广泛使用。特别是经济学作为一门研究稀缺资源最优配置的科学，非常适合将优化数学方法与工具运用于经济学研究。同时，经济学充满着大量的不确定性，而概率论是描述不确定的最佳数学工具。

应该强调，经济思想特别是创造性的经济思想不是从数学推导中产生的。但是，单有思想是远远不够的，还必须有解决问题的方法，思想和方法一起才能构建一个完整的、系统化的理论。思想是提出科学问题的先导，而方法则是解决科学问题的钥匙。例如，哥德巴赫猜想（“1+1”）是数学的一个重要命题，但多少年来一直没有人能够证明这个猜想，一直到陈景润才证明了“1+2”，陈景润的方法也因此被誉为“陈氏定理”。在物理学，物理学家曾一直想测度光速有多快，美国诺贝尔物理学奖得主阿尔伯特·迈克尔逊（Albert Michelson）发明了一个实验装置，被称为迈克尔逊干涉仪，解决了这个问题。

以下我们通过几个经济学经典理论案例，说明数学在经济学中所发挥的重要作用。

 一般均衡论。瓦尔拉斯1874年提出一般均衡论（Walras，1954），认为通过自由竞争，存在一组均衡价格，能够使整个经济处于均衡状态，并达到帕累托最优。瓦尔拉斯设想通过一个“拍卖”叫价机制达到这样的均衡，但没有从数学上严格证明。这个工作后来由阿罗和德布鲁（Arrow and Debreu，1954）运用数学“不动点定理”（fixed point theorem）完成了，从而为一般均衡论和新古典经济学奠定了坚实的理论基础，阿罗和德布鲁也因此获得了诺贝尔经济科学奖。可能有人会认为，用不动点定理证明一般均衡的存在，在数学上非常漂亮，理论结构也很完美，但是这些数学方法到底在现实中有没有用呢？大家可以回想一下可计算一般均衡（computational general equilibrium，CGE）模型的广泛应用。不仅在国外，中国的经济学家包括一些经济智库长期以来也大量使用可计算一般均衡模型评估各种经济政策，特别是宏观经济政策、产业政策、区域政策以及重大事件对中国与世界经济的冲击和影响。

博弈论。这原是应用数学的一个分支，后来与经济行为假设不断结合，形成了今天的博弈论，成为现代微观经济学的核心理论基础。博弈论最主要的开拓者是数学家冯·诺依曼（John von Neumann）和纳什（John Nash）以及经济学家摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）。其中纳什是美国数学家，22岁获得普林斯顿大学数学博士学位。他和海萨尼（John Harsanyi）、泽尔滕（Reinhard Selten）一起获得了1994年的诺贝尔经济科学奖，以表彰他为博弈论奠定数学基础所做出的杰出贡献。纳什也是微分几何与偏微分方程领域的一位开拓者。

投资组合理论。马科维茨（Markowitz，1952）应用概率论与统计学的分析方法与工具，以均值和方差刻画投资组合的预期回报和风险，建立了投资组合理论。马科维茨在1990年获得诺贝尔经济科学奖，他在获奖演讲（Markowitz，1991）中这样说：“当年我在芝加哥大学进行经济学博士论文答辩时，费里德曼（Milton Friedman）教授称投资组合理论不属于经济学，因而我的论文不属于经济学范畴，也就不能授予我经济学博士学位。我知道他只是半开玩笑，因为答辩委员会并没有花费太长的时间争论就决定授予我博士学位。对于他的说法，现在我也愿意承认，当年博士论文答辩时，投资组合理论并不是经济学的一部分，但它现在是了。”这个例子说明了数学特别是概率统计方法在金融学中的创造性应用，拓展了金融学的研究领域与边界。

金融衍生产品定价理论。布莱克和斯科尔斯（Black and Scholes，1973）应用随机微分方程，结合无套利机会等金融市场基本假设，提出了欧式期权产品定价理论。这篇论文与莫顿（Merton，1973）的论文一起，奠定了后来兴起的金融工程学科与金融工程产业的理论基础，斯科尔斯和莫顿因此于1997年获得诺贝尔经济科学奖。但是Black和Scholes（1973）这篇论文因为其超前思想和高深数学，在送审发表中经历了曲折的过程，最后发表在芝加哥大学主办的《政治经济学期刊》（Journal of Political Economy）（Black，1987）。

以上讨论主要聚焦数学在经济学研究中的作用，特别是在经济思想的理论体系化过程中数学发挥的关键作用。我们知道，经济理论最主要的目的是解释现实，揭示经济的内在因果关系和运行规律。而一个经济理论能否解释经济现实，主要看这个理论和观测数据是不是具有一致性，即理论与现实的一致性。在验证理论与现实的一致性问题上，数学是无能为力的，而在这方面能够起到关键作用的是以计量经济学为方法论的实证研究。计量经济学以经济观测数据为基础，通过统计推断方法，验证一个经济理论是否能够解释经济现实，是否与观测数据具有一致性。换句话说，以计量经济学为方法论的定量研究，是连结经济理论和经济现实的一个桥梁。通过这个桥梁，可以验证一个经济理论能否解释经济现实。比如，计量经济学模型能够将一个经济假说转变为一个统计假设，然后通过观测数据验证统计假设是否成立，由此推断经济假说是否成立。需要强调，实证分析不一定都是以数据为基础的计量经济学实证分析。比如，宏观经济学有一种常用的实证分析方法就叫校准法（calibration）（Cooley，1997）。

经济学研究的一个最主要目的是揭示经济变量之间的因果关系。识别因果关系是一切科学最主要的任务。在自然科学、实验科学中识别变量之间的因果关系，可以采用实验的方法。比如，判断变量X是否与变量Y存在因果关系，是指在其他变量Z不变的情况下，X的变化会不会引起Y的变化。我们可以通过控制实验条件，让其他变量Z不变，只改变X的数量，然后观测Y的数量会不会改变。这个方法可以精确判断从X到Y是否存在因果关系。但是，经济观测数据通常并不是通过控制实验而产生的。经济系统的非实验性是经济学识别因果关系时面临的最主要挑战。而统计学和计量经济学能够提供一种方法论，在非实验性的条件下，即在其他变量Z也发生变化的现实条件下，判断X的变化会不会引起Y的变化，从而推断是否存在从X到Y的因果关系。显然这种实证分析要比通过实验方法识别从X到Y的因果关系复杂得多，但借助一些假设与经济理论，统计学和计量经济学可以解决在非实验条件下判断经济因果关系的难题，彰显了以统计学和计量经济学为基础的定量实证分析在经济研究中所发挥的重要作用（Pearl，2009；Varian，2016）。

方法不仅能够解决所研究的问题，新的科学方法还常常能够揭示数据中经济变量之间以前没有发现的逻辑关系，提供新的洞见、得出新的结论。例如，长期以来金融学家和经济学家一直深信股票市场是一个有效市场，甚至有人看到实证研究发现股票市场并非有效时，便马上下结论称实证研究的计算机程序肯定有错。Malkiel（1973）写了一本畅销书叫《漫步华尔街》（A Random Walk Down Wall Street），就讲述了为什么股票市场是有效市场，影响非常大，已再版12次。但是，Lo和MacKinlay（1999）等学者发明了一些金融计量方法，通过数据分析，以证据证明股票市场存在非有效特征，并出版了《华尔街的非随机游走》（A Non-Random Walk Down Wall Street）一书，这一论断现已被大多数人接受。

《21世纪资本论》（Capital in the Twenty-First Century）的作者、法国著名经济学家皮凯蒂（Thomas Piketty）多年来致力于建立新的分布式国民账户（distributional national accounts）数据库，他通过整合包括国民账户数据、微观调查数据、税收数据、商业银行报告在内的各种数据，对收入与财富分配进行跨国比较分析。收入与财富分配是经济学一个重要而又古老的问题。皮凯蒂批评常用的基尼系数等指标将不同阶层、不同群体的不平等混淆起来，他主张用分配表分析收入不平等的问题，因为分配表能够显示出收入与财富金字塔各自最顶端的10%和1%群体在总收入与总财富的比重（Piketty，2014）。皮凯蒂估算了近300年来多个国家的资本收入比，发现这些国家进入21世纪以来，收入与分配不平等呈现出与19世纪相似的两极分化情形，其结论冲击了西方主流经济学关于社会收入和财富分配将随着经济的充分发展而逐步趋于平等的观点，特别是诺贝尔经济科学奖得主西蒙·库兹涅茨（Simon Kuznets）的“倒U型曲线理论”。

经济学研究存在各种分析方法，如历史方法、逻辑方法和统计方法。是否可以不用定量分析方法，只用定性分析方法？当然可以。定性的历史分析、逻辑分析也可以从理论上揭示经济变量之间的逻辑关系以及经济运行规律，包括经济的历史发展趋势。但是，一旦需要将经济理论应用于解释经济现实，实证研究就不可避免。实证研究并不意味着一定要使用数据和计量经济学的分析方法，也可以使用描述研究、案例研究、校准研究等方法。但从方法论角度看，具有严谨概率论与统计学基础的计量经济学是所有实证研究方法中比较科学的一个方法。

中国数学家和经济学家探索数学在经济学研究以及经济管理中的应用已有很长的历史。20世纪60年代，著名数学家华罗庚率先开展优选学、统筹学以及经济数学的理论研究，将其应用于国民经济管理实践，取得了丰硕成果。改革开放之后，华罗庚牵头在1981年成立了中国优选法统筹法与经济数学研究会，经济数学是其中一个分会。华罗庚（1987）最后的主要研究集中在计划经济大范围最优化数学理论，类似于现代西方经济学的一般均衡论。另一方面，早在1959年，中国著名经济学家孙冶方就意识到经济学研究必须使用定量分析方法，中国科学院哲学与社会科学部在1960年成立了经济数学方法研究小组，开始研究投入产出原理、社会主义生产模型以及经济数学方法。1965年，中国著名经济学家、时任中宣部科学处处长的于光远，曾和华罗庚商量如何促进我国数学家和经济学家共同将数学方法应用于经济学研究中，并在应用过程中找到和提出新的数学方法。1979年，于光远推动开展数量经济的研究，成立了中国数量经济研究会，这个研究会就是现在的中国数量经济学会的前身。40年来，数量经济学在中国的发展非常迅速，其研究与应用也取得了很大的成就。但从整体上看，由于历史等各种原因，中国的数学家和经济学家似乎没有形成合力，中国经济学家使用数学方法研究经济理论问题的还是偏少，与国际先进水平相比，其数学化还远远不够。例如，在数理经济学和博弈论理论研究方面，中国本土经济学家发表的国际论文很少，中国经济学家的定量分析主要集中在计量经济学的理论及应用研究，特别是以计量经济学为基础的实证研究，计量经济学是国内经济学最接近国外先进水平的一个学科，但整体上也存在显著的差距（洪永淼等，2020）。

历史上，不少哲学家同时也是数学家，如笛卡尔（René Descartes）、罗素（Bertrand Russell）、莱布尼兹（Gottfried Leibniz）等，同样地，不少经济学家也是数学家或者物理学家，诺贝尔经济科学奖首届得主之一丁伯根（Jan Tinbergen）就是物理学博士。虽然数学推导产生不了经济思想，但数学公式和模型是经济思想的重要载体和表达形式。挖掘并理解数学公式和模型所包含的经济含义，是经济学学术训练不可或缺的重要组成部分。例如，在《概率论与统计学》和《计量经济学》的教学过程中，强调对数学概念、理论、方法与工具的经济解释与经济应用，对学生掌握相关知识是非常有帮助的。

在物理学中，牛顿力学、电磁学、热力学与统计物理学、量子力学和相对论，均能用非常简洁的数学公式来表述，这些数学公式包含着丰富深刻的物理含义，这是物理学的一个显著特点。经济学的数学公式和模型同样包括着丰富深刻的经济含义。例如，欧拉方程是一个在物理学和经济学中都广泛应用的数学工具，这是动态优化规划的一阶条件。在经济学中，如果一个经济主体（投资者或消费者）的目标函数是最大化其一辈子效用的总和，那么欧拉方程便刻画了在不确定条件下经济主体的最优动态消费路径或投资路径。这与物理学和天文学用欧拉方程刻画宇宙飞船从地球飞往月球的最优动态运行轨迹类似（当然取决于目标函数）。

不仅数学公式和模型包含丰富的经济含义，经济观测数据的定量分析也能产生重要的经济思想与科学问题，不应该把定量方法和经济思想对立起来。比如，宏观经济学有一个著名的“股权溢价之谜”（equity risk premium puzzle）。Mehra和Prescott（1985）在实证研究中发现，刻画宏观经济动态运行的理性期望模型，并不能解释为什么美国宏观经济存在那么大的股权溢价，即美国股市回报率减去美国国债回报率两者之差那么大。这个“股权溢价之谜”极大推动了宏观经济学相关领域的发展。金融学很喜欢研究各种异象（anomalies），即标准资本资产定价模型（capital asset pricing model，CAPM）无法解释的那部分回报率是由哪些因素决定的，这里的异象回报率与“股权溢价之谜”一样，是通过CAPM模型定量估算出来的。这些异象产生了很多很好的金融定价问题。在经济学，经济高质量发展有一个重要测度指标，就是全要素生产率（total factor productivity，TFP），也称为多要素生产率。基于微观企业数据估计整个行业乃至整个经济的生产函数，然后通过生产函数扣除生产要素对经济增长的贡献，剩余部分就是效率增长，也就是全要素生产率（Sickles and Zelenyuk，2019）。这个重要的经济学概念被写进了“中国共产党十九大报告”。

从经济数据中总结经验典型特征事实（empirical stylized facts），可以凝练出重要的科学问题。大多数经验典型特征事实是数据中经济变量之间的统计关系。一个例子就是菲利浦斯曲线，刻画通货膨胀率和失业率之间的负相关关系（Phillips，1958）。另一个例子是美国宏观经济学家Bernanke（2004）等人发现，自20世纪80年代中期之后，美国经济增长率和通货膨胀率的波动幅度，随着时间的推移越变越小，这被称为“大缓和”（great moderation）现象。这个经验典型特征事实使经济学家纷纷提出各种理论解释为什么如此。换句话说，从数据的定量分析中总结出来的重要经验典型特征事实，可以产生重要的科学问题。Sun等（2019）发现，中国经济增长率和通货膨胀率的波动幅度，也像美国宏观经济一样，随着时间的推移越变越小，只是开始的时间起点不是20世纪80年代，而是90年代。中国经济学家似乎还没有注意到这个现象，更不用说提出经济理论解释为什么中国经济也有“大缓和”现象。