2020年诺贝尔物理学奖被授予罗杰·彭罗斯（Roger Penrose），莱因哈特·根策尔（Reinhard Genzel），和安德里亚·格兹（Andrea Ghez），奖励他们三人在黑洞研究方面作出的杰出贡献。

三位获奖者中年纪最大的罗杰·彭罗斯爵士出生于1931年，是一位英国数学家、物理学家和科普作家。他的原始获奖工作是一篇只有三页的数学论文，用广义相对论推导出了黑洞的存在。这是诺贝尔物理学奖第一次颁发给一个纯数学工作。彭罗斯是物理学家霍金的好友，他俩后来合作把彭罗斯的工作推广到宇宙学领域，证明了大爆炸一定始于一个奇点。

霍金与彭罗斯

彭罗斯的研究兴趣非常广泛，既有艰深的数学和物理，又有面向大众的趣味数学。他年轻时就跟他的父亲（一位心理学家）一起设计了不可能在现实空间中实现的彭罗斯三角。

彭罗斯三角

彭罗斯三角可以利用视觉错觉来“实现”。比如下图中位于澳大利亚珀斯的这个雕塑，从特定方向看就是彭罗斯三角。

视觉错觉效果动图

奥地利的一个彭罗斯三角

这个比利时的彭罗斯三角采用了另外一种错觉设计：看起来像是直的，实际是弯的。

彭罗斯父子还创造了不可能实现的彭罗斯阶梯。

彭罗斯阶梯

彭罗斯阶梯是荷兰版画大师埃舍尔作品《上升与下降》的主题。

在电影《盗梦空间》里友情出演

彭罗斯最著名的趣味数学发现当属彭罗斯镶嵌（Penrose tiling）。这里说的镶嵌就是用地板砖无缝铺满平面。我们最常见的地板砖是方形的，因为用同样大小的方形很容易铺满平面。我们也可以用同样形状和大小的三角形来铺满平面。

用香瓜🐯的玩具拼出来的图

任意形状的三角形都可以铺满平面

任意形状的四边形都可以铺满平面

甚至这种奇形怪状的也能

有了三角形和四边形，下一个形状就是五边形。然而，同样形状和大小的五边形不能拿来铺满平面。无论怎么铺，总会有缝隙。

下一个是正六边形，可以铺满平面。勤劳的小蜜蜂搭建的蜂巢就是这种形状。

前面几种铺满平面的方式都是周期性的，意思就是可以把所有地板砖朝某个方向平行移动一段距离，得到的铺法跟原来的还是分毫不差。比如方形的铺法，可以沿水平方向平移一个方格边长的距离，也可以沿竖直方向平移同样的距离，得到的铺法跟原来的一样。

彭罗斯在上世纪七十年代发现了彭罗斯镶嵌。这里的地板砖是两种不同形状但具有同样边长的菱形。一个菱形的四个角的角度分别是36°,144°,36°,144°，另外一个菱形的四个角度分别是72°,108°,72°,108°.

用这两种菱形可以造出无数个非周期性的铺法，比如下图。

令人惊异的是，尽管上图里的彭罗斯镶嵌不具有周期性，它仍然有五重对称性。也就是说，把这个图形绕某个中心点旋转72°（360°的五分之一），还是得到原来的图形。前面讲到的用三角形、四边形和正六边形铺满平面的方式都不具有五重对称性。

彭罗斯镶嵌的另外一种形式是使用以下两种“风筝”和“飞镖”形状的地板砖。

彭罗斯镶嵌的拼图积木

彭罗斯镶嵌还有许多奇妙的性质，跟一些深刻的数学理论有关。数学科普作家马丁·加德纳（Martin Gardner）曾写过多篇文章介绍彭罗斯镶嵌。

加德纳著作封面

彭罗斯镶嵌出现在很多设计中，像下面这张照片里彭罗斯爷爷脚下的地板。

彭罗斯工作的牛津大学数学研究所

牛津大学数学研究所出品的杯子

旧金山跨湾换乘枢纽的外墙

真的有这种洗手间瓷砖

还有这种

彭罗斯镶嵌不仅仅是数学家的玩具，它还跟化学里的一个重大发现有着密切联系。我们知道，很多物质都是由原子组成。有一类叫作“晶体”的固体，其中的原子排列非常有规律，具有类似前面所说的周期性。

在冰的晶体结构里，我们可以看到六边形铺满平面的方式。每个六边形的顶点处是一个氧原子。

在食盐的晶体结构里，我们可以看到正方形铺满平面的方式，每个正方形的顶点处是一个氯原子或钠原子。

彭罗斯意识到，彭罗斯镶嵌可能也对应于某种物质的原子排列。他在1976年的一封信中写道：“这些事很有可能在生物学上具有某种重要性。你会记得某些病毒呈正十二面体和正二十面体，它们如何做到这一点的，似乎总是令人迷惑不解。不过假如以安曼的非周期性六面体为基本单位，那么我们就会得到一些准周期性‘晶体’，其中就包含此类看似不可能存在的、沿着十二面体或者二十面体各平面的（晶体学上的）解理方向。病毒是否有可能会以某种类似这样的包含非周期性基本单位的方式生长——还是说这种想法太异想天开了?”

腺病毒的结构是正二十面体，每个顶点处有五个小三角形。

上世纪八十年代初，以色列化学家丹·谢赫特曼（Dan Shechtman）发现了一种新的固体材料，其原子排列不具有周期性，但却有着十重对称性。这跟彭罗斯镶嵌非常相似，然而谢赫特曼当时并不知道彭罗斯镶嵌，在别人的帮助下才弄清了其中的数学。这种物质被命名为“准晶”（quasicrystal）。后来人们又发现了具有其它种类对称性的准晶，包括五重、八重、十二重等在晶体里不可能出现的对称性。

铝钯锰合金准晶的原子模型

中国科学院郭可信团队是准晶的早期研究者，率先发现五重和八重对称性。

准晶的存在严重违反了当时已知的晶体学常识，尽管它在数学上是可能的。包括双料诺贝尔奖得主鲍林在内的许多化学家都不相信准晶理论，斥之为“准科学”。

谢赫特曼解释准晶的原子模型

然而随着越来越多准晶的发现，主流化学界逐渐接受了准晶。2011年，谢赫特曼一人独享当年的诺贝尔化学奖。

谢赫特曼终获认可

所以彭罗斯镶嵌是这样的数学：它由诺贝尔物理学奖得主发现，又跟诺贝尔化学奖工作密切相关。前述彭罗斯信件里提到了病毒结构，或许哪天我们还会在诺贝尔生理学或医学奖的颁奖词里看到彭罗斯镶嵌？

时间有无开始与终结|2020年诺贝尔物理奖得主彭罗斯的奇点定理

今年，彭罗斯获得了诺贝尔物理奖。这是实至名归的，他当得起这个称号。

近几十年来。对黑洞研究贡献最大的有三个人。一个是霍金，一个是贝根斯坦，再有一个就是彭罗斯，这三个人当中，霍金的贡献我认为是最大的。现在，霍金与贝根斯坦都已经去世了，诺贝尔奖只给活人，不给死人。这是一个传统，我很理解。不过，早就有人指责诺贝尔奖评委会，不肯把奖发给批评过他的人。这次不知是不是也有这个因素。霍金曾经很强烈的批评诺贝尔奖评委会关于脉冲星的发现，中子星的发现，奖发得不公平，只发给了老师休伊士没有发给学生贝尔。

这三个人的贡献大致是这样的。首先，彭罗斯和霍金一起提出了奇点定理。这个定理是说在广义相对论成立和一些合理的物理条件下，例如因果性成立这样的条件之下，时空一定存在奇点。而且，彭罗斯把奇点解释成时间开始和结束的地方。也就是说，他们证明了一个合理的物理时空，时间一定有开始，或者一定有结束，或者既有开始又有结束。这一成果，首先要归功于彭罗斯，因为这一思想是他提出来的，而且他给出了第一个证明，然后霍金又给出了另外的证明，他们又合作给出了一些证明。

然后霍金又提出了面积定理，指出黑洞的表面积在演化过程中只能增加，不能减少。贝根斯坦首先指出，黑洞表面积的这一性质表明黑洞表面积是熵，黑洞具有熵，从而指出黑洞具有热性质。他提出了黑洞热力学。但是有一个严重的困难，如果黑洞具有热性质，具有温度，就应该有热辐射，但是一般认为黑洞是只进不出的星体。所以似乎不可能有热辐射。

然后霍金又证明了黑洞确实存在热辐射，这就是著名的霍金辐射。这是霍金研究的顶峰。

这三个人的最大贡献是把热力学和时空理论联系起来了。这是一个划时代的创举，所以他们三个人都是诺贝尔奖级的人物。

下面介绍彭罗斯的主要成就之一—奇点定理。

一、奇点定理的哲学意义

这里讨论的是内禀奇点而不是坐标奇点。这种奇点时空曲率发散，而且此类发散不能通过坐标变换来消除，因而它表示时空本身存在奇异，也就是说存在“病态”。令人意外的是，对内禀奇点的研究把科学家们引向了“时间是否有开始和终结”的探讨。

时间有没有开始和结束？千百年来，许多伟大的思想家对此进行过深入的探索，但那都是些哲学家和神学家，而且有关的探讨都局限在哲学分析、神学研究和主观猜测上。从20世纪60年代开始，物理学介入了这一问题的研究。其标志是彭罗斯和霍金提出的奇点定理（或称奇性定理），该定理概括并超出了关于宇宙开端和终结的研究。

奇点定理可粗略表述为：只要广义相对论成立，因果性良好，有物质存在，就至少有一个物理过程，其时间存在开始或存在结束，或既有开始又有结束。这一数学定理在物理学和哲学上的重大意义是不言而喻的。遗憾的是，到目前为止，它还没有引起哲学界的注意，科学界对它的重视也远远不够。

下面，我们将对奇点定理及其造成的困难作简要的介绍，并讨论其可能引发的重大科学与哲学进展。

二、内禀奇点与坐标奇点

广义相对论诞生不久，人们就发现爱因斯坦方程的解（即满足广义相对论的时空）普遍存在奇异性（奇点或奇环等）。奇异性有两类，一类是内禀奇异性，是时空本身存在问题，表现为时空曲率发散，而且这种发散不能通过坐标变换加以消除。例如，球对称黑洞（史瓦西黑洞）的“中心”奇点，转动黑洞内部的奇环，大爆炸宇宙的初始奇点，大塌缩宇宙的大挤压终结奇点等，都属于这类奇异性。

另一类是坐标奇异性，这种奇异性不是时空本身存在问题，而是由于坐标系选择不当引起的，可以用坐标变换加以消除。只存在坐标奇异性的地方，时空曲率正常，并不出现发散。当然具有坐标奇异性的地方，往往也有物理意义，例如前面谈到的各种黑洞的表面（事件视界），都存在坐标奇异性。

不过，下面我们探讨的都是内禀奇异性。为了讨论方便，以后我们把出现内禀奇异性的地方（奇点、奇环等），统称为奇点。

三、栗弗席兹与卡拉特尼科夫的失误

上世纪70年代对奇点问题的深入研究，起源于苏联物理学家的工作。当时朗道已经去世，他的助手栗弗席兹与另一位物理学家卡拉特尼科夫联手，对广义相对论中的奇点问题展开了研究。

把他们吸引到这一问题上来的原因是，他们注意到当时已知的广义相对论场方程的解，除去作为真空的闵可夫斯基时空和德西特时空（常曲率时空）之外，一般都存在内禀奇点，奇点处时空曲率发散，因而是物理理论无法了解的地方，它随时可能产生无法预测的信息。环形奇点（如转动黑洞中的奇环）的附近，还会出现“闭合类时线”，沿这类曲线生活运动的人，会回到自己的过去。这简直令人不可思议。因此他们觉得，真实的物理时空不应该存在奇点。

那么，为什么满足广义相对论的时空普遍存在奇点呢？他们认为，这是因为人们在求解爱因斯坦场方程时，把时空的对称性假设得过于理想所致。

他们想，当一个星体做标准的球对称塌缩时，所有的星体物质都球对称地下落，因此最终都挤到球心，形成奇点，例如史瓦西黑洞中心的奇点。

但是真实的星体塌缩不可能是标准而严格的球对称塌缩，所有各个方向塌向球心的物质会在中心附近交叉而过，最终不会形成奇点。

克尔黑洞中的奇环，也是人们把星体塌缩想得太理想所致，当旋转的星体做标准的轴对称塌缩时，才会形成奇环。但真实的旋转星体，塌缩时不会严格轴对称，塌缩的星体物质也会相互碰撞，最终“擦肩而过”，不会形成奇环。

总之，他们认为奇点和奇环的出现，都是因为人们把星体塌缩时的对称性想得太好所致。真实的塌缩过程不可能保持如此严格的对称性，所以奇点和奇环都不可能真正形成。

人们为什么要把物质和时空的对称性设想得那么完美呢？这是因为广义相对论的场方程过于复杂，求解起来非常困难。把对称性设想得越好，场方程越可能化简，越容易求解。所以，场方程的复杂性迫使科学家们把时空的对称性想象得尽可能好，这样，他们才求出了场方程的一些解。卡拉特尼科夫与栗弗席兹认为，令人遗憾的是这也导致了奇点的出现。

他们进行了较为深入的研究，最后得到一个结论：奇点并非广义相对论的必然结果，奇点的出现是把时空和物质的对称性设想得太好所致。真实的时空和物质分布不可能保持严格的对称性，所以真实的时空中不应该存在奇点。

后来，栗弗席兹与卡拉特尼科夫的这一结论被证明有错误，他们本人也认识到了。

四、彭罗斯的创新思维

彭罗斯不相信他们的结论，认为他们的证明过程有误。

彭罗斯指出，奇点是广义相对论理论固有的“毛病”，满足广义相对论的真实时空中都不可避免地存在奇点。

经过仔细思考与研究，彭罗斯和霍金证明了“奇点定理”。这个定理可粗略表述为：只要爱因斯坦的广义相对论正确，并且因果性成立，那么任何有物质的时空，都至少存在一个奇点。

更加值得注意的是，彭罗斯和霍金在提出并证明“奇点定理”的过程中，对“奇点”概念进行了重新认识，提出了极其重要的新思想：奇点应该看作时间的开始或终结！

这就是说，他们的奇点定理证明了一定存在时间有开始和终结的过程，这使得物理学介入了“时间有无开始和终结”的探讨。

彭罗斯与霍金等人对于奇点的这一认识，来源于对宇宙和黑洞的研究。在大爆炸宇宙模型中，宇宙与时间一起诞生于时空曲率发散的初始奇点；对于其中的大塌缩结局，宇宙与时间又一起终结于时空曲率发散的大挤压奇点。

另一方面，广义相对论告诉我们，黑洞内部的时空坐标要发生互换，原来的时间t成为空间坐标，而径向坐标r则成为时间坐标。所以黑洞内部的等r面不再是球面，而成为了等时面。

对于黑洞，时间方向指向r=0的奇点处。这样，等r面成为“单向膜”，任何进人黑洞的物质只能向r减小的方向运动，不能停留，也不可能反向运动，而且没有任何力和任何物质结构能够抗拒这种运动。

这是因为，这不是一般的运动，而是一个时间发展的过程，什么力量都不能抵挡，不能不顺着时间方向前进。也就是说，任何物质都必须“与时俱进”。

黑洞内部整个是单向膜区，黑洞的边界（视界）是单向膜区的起点。进入黑洞的飞船和任何其它物质都将在有限的时间内穿越单向膜区到达奇点。值得注意的是，由于时空坐标互换，r=0现在不是黑洞的“球心”，而是时间的终点。这就是说，进入黑洞的飞船和宇航员的时间将在有限的经历中结束。

按照广义相对论，还可能存在白洞。白洞是黑洞的时间反演。它的内部也是单向膜区，只不过时间方向从奇点r=0处指向视界处，所以它的单向膜的单向性与黑洞相反。需要强调的是，白洞内部的r=0处，不是时间的终点，而是时间的起点。

五、奇点：时空中无法修补的洞

有奇点的时空，称为奇异时空。然而，如果有人把奇点从时空中挖掉，剩下的时空还能叫做奇异时空吗?彭罗斯和霍金认为即使把奇点挖掉，时空的根本性质也不会有变化，仍然是奇异时空。

然而，挖掉奇点之后，时空中就不存在曲率为无穷大的点了，因此，仅仅用“曲率无穷大”来定义奇点是有缺陷的。他们注意到，虽然人们可以把奇点从时空中挖掉，但挖掉之后总会留下空洞，那么时空中任何一条经过空洞的曲线（世界线）都会在那里断掉。

于是，彭罗斯和霍金建议，干脆把奇点从时空中“去掉”，认为它们不属于时空。粗略地说，干脆把它们看作时空中的“空洞”。但是任何一个正常点也都可以从时空中挖掉，形成空洞，时空中的曲线到达这样的空洞当然也会断掉，不过，这种空洞可以用数学方法补上，而奇点处的空洞则由于曲率发散不可能补上。

六、奇点：时间的开始与终结

于是，彭罗斯和霍金这样去证明他们的“奇点定理”：证明时空中至少存在一条具有如下性质的类光（光速）或类时（亚光速）世界线：它在有限的长度内会断掉，而且断掉的地方不能用任何手段修补，以使这条世界线可以延伸过去。

类空（超光速）世界线不在他们的考虑范围之内，因为这样的曲线描述超光速运动，而自然界不存在超光速运动的粒子。

类光世界线描述光子运动，类时世界线描述低于光速的质点的运动，例如电子运动、火箭运动以及我们人类可以进行的任何活动。总之，光速或亚光速世界线描述自然界存在的一切实际过程。

相对论研究表明，时空中的亚光速世界线的长度，恰恰是沿此线运动的质点（或火箭、或任何物体和人）所经历的真实时间（称为固有时间）。所以，按照彭罗斯和霍金的观点，“奇点”就是时间过程断掉的地方。

奇点定理的实质内容是：在因果性成立、广义相对论正确、而且有物质存在的时空中，至少有一个可实现的物理过程，它在有限的时间之前开始，或在有限的时间之后终结。也就是说，至少有一个物理过程，它的时间有开始，或有终结，或者既有开始又有终结。换句话说，至少有一个时间过程，它的一头或两头是有限的。

总之，奇点定理告诉我们，时间不都是无穷无尽的。黑洞的内部，有一个时间的“终点”，即黑洞的奇点。白洞的内部，有一个时间的“起点”，即白洞的奇点。膨胀宇宙的时间有一个起点（大爆炸奇点），脉动宇宙的时间，则不仅有一个起点（大爆炸奇点），还有一个终点（大挤压奇点）。

奇点定理的前提条件是无可非议的。奇点定理的证明过程，依据了现代微分几何和广义相对论的研究成果，经过了不少专家的反复推敲。看来，奇点困难无法摆脱。奇点定理不仅确认了奇点不可避免，而且指出奇点困难反映了时间的有始有终性。