最近翻 Peter Lax 的书，他的书会在某些章节的最后，讲一些小故事，或者历史注记。在讲到不变子空间（invariant subspaces）时，提到了瑞典数学家Per Enflo构造了一个无比艰深的著名的反例，在Acta Math上的文章长达一百页，从完成到最后文章的发表，时间横跨12年。我十年前给9字班的学生上泛函分析，在备课时似乎在哪里看到过一点关于Enflo的故事，不过印象有点模糊了。元旦假期里，我抽空更深入地了解了一下这个数学家，发现乖乖，这真的是一个很独特的数学家！

先介绍一下大环境：瑞典，在数学上是一个神奇的国家，尤其擅长古典分析，诞生了伟大的Hormander（Fields+Wolf奖）、L. Carleson（Abel奖）、Arne Beurling（Carleson的导师）、Lars Garding（Hormander的导师）。即使到了今天，瑞典在分析相关的一些领域，仍然是世界级的。这里要说的Per Enflo，作为又一个瑞典人，从事泛函分析领域，所以，成为一个强人是不是不意外？不，他的经历很有意思。

先把结论拿出来：他从小一直到博士毕业，基本上属于-----自学成才。

他是从一个音乐神童开始的，七岁时，他的弟弟Hans逼迫父母让他学钢琴（这是一个典型的“自鸡”娃），Enflo和姐姐也跟着学，然后一两个月以后就在演奏和作曲上展示出了神童的天赋（他弟弟后来转学小提琴，也很牛，不过不知道弟弟放弃钢琴是不是被他吓走的）。八岁时，他的哥哥Bengt拿数学题给他做，然后他离开也喜欢上了，花了几个月把整个小学的数学都学完了。长话短说，从此以后他基本上走上了“钢琴上被瑞典最好的音乐家愿意免费教他，数学上自己做题教自己”的道路。1961年，他获得了北欧的钢琴比赛第一名，同时获得了数学竞赛的第二名（他号称是笔误把x写成了y，全被扣光了，本来该是第一名，不过这不重要了）。

他在很多音乐前辈劝他走上全职音乐家这条“有着光辉前景”的道路的情况下，1962年进了斯德哥尔摩大学。不过，在他的余生，他每年都受到各地的邀请参加各种音乐会的钢琴独奏。一进大学，他就立志在一年内完成本科的数学和理论物理的课程。不过这个计划受挫了，他花了两年时间。从1964年的春季开始，他选择了一个导师（准确地说，是名义上的导师，因为这个导师在数学上并没有真正意义上教他什么），Hans Radstrom，开始了他的研究生生涯。

Enflo最大的特点，就是独立，他从一开始就经常自己琢磨东西，喜欢自己想一些稀奇古怪的东西。他去找Hans Radstrom时，拿给他看他思考的东西，Radstrom也不知道该说啥，就说也许拓扑群（topological groups）方面的东西会对他有点帮助，并没有给他任何题目。于是他开始念Pontrjagin（对的，就是苏联的那个盲人拓扑学家）和Montgomery-Zippin关于这方面的东西，最终导致他去研究Hilbert第五问题的无穷维版本。这个题目也是他自己找的，然后自己做，他一个学期去见他导师1~2次，导师在学术上没有（大概也不能）给他什么具体指导，大致教了些怎么写东西之类的。

用他自己的话说，从1964到1969年，他孤独地在无穷维Hilbert第五问题这个project上工作，一个人------没有导师、没有同学。在这段孤独的过程中，他知道他没有做“正确的”事情，因为“正确的”事情应该是加入L. Carleson, Hormander或者Garding这些就在瑞典的巨人的团队，在他们的羽翼下学习。但是他没有。这显然不应该是够不够格的问题，毕竟他当时是全国的数学竞赛第二名嘛！这只能是因为他很个人化的性格和精力。他自己解释到：他是从他哥哥给他一些非标准化的数学题开始的，小时候学音乐和作曲，导致了他做数学喜欢创造一些非常个人化的“艺术”，他做数学的风格也是如此，尽管他做研究生时完全可以投到诸如Hormander和Carleson这样的巨人名下。

他在痛苦、沮丧和孤独中挣扎了两年后，1966年，他在数学上有了重要的进展。但是这种进展并不是做出了什么结果，而是他得到了两个新的数学上的洞察（new insights）。第一个，因为他一直在考虑无穷维的Hilbert第五问题，他想要构造一种具有特殊结构的群，他的方法是找出某种“正确的”有限现象（finite phenomenon），然后进行归纳，从而得到无穷维的性质。他相信他的这种构造方案（construction scheme）为一种“哲学”，会对很多涉及无穷维问题有帮助。他是对的，后来他最著名的几项成就：Schauder基问题、逼近问题和不变子空间问题，全部都用到了这种“哲学”。他的另一个洞察，是他引入了巴拿赫空间（Banach space）中“非线性型”（nonlinear type）,三十年后的教科书承认了Enflo在念研究生时就超前于他的时代地引入了这些概念。

1966年的夏天在斯德哥尔摩有一个关于调和分析的暑期学校，很多该领域的大拿们去讲课：除了本地的Carleson，还有E. Hewitt, 来自法国的J.-L. Kahane（他有一个巨人学生，Abel奖得主Y. Meyer）, Y. Katznelson（写经典的调和分析书那个Stanford教授），W. Rudin（对的，就是那个写了两本大家都知道的分析书的那个），还有N. Varopolous（第一个Salem奖得主）。听众们聚集了北欧国家的经典分析年轻一代的精英们，Enflo发现这些年轻精英们能理解一切，而他，作为曾经的数学天才，却在课后的谈话中完全跟不上节奏。他努力地试图融入进去，他终于理解了Water Rudin提的一个问题，他做了一个星期，觉得做出来了，鼓足勇气去跟Rudin讲他的证明。然而，在讲的过程中突然意识到自己犯了一个超级愚蠢的常识性错误（咳咳，这个其实很常见啦！）。他觉得非常难堪，但是Rudin人很好，安慰他：“你的钢琴弹得很好。。。”

这个安慰真伤人啊！

在那个暑期学校，Enflo经常和E. Hewitt一起弹钢琴（看来有个音乐专长还是可以的），在最后一天，Hewitt终于问他数学上在做什么（这。。。真的很伤人，那时没人当他是做数学的，最后这个问题估计也是礼节性的）。Enflo回答在做无穷维的Hilbert第五问题，Hewitt的反应立刻而强烈：这不是一个很重要的问题。

总之，暑期学校就这样过去了。

接下来的几个月，Enflo到部队去服兵役，在那里，他在空闲时间利用了他的“哲学”（就是上面提到的：找出正确的有限现象来归纳出无穷维性质）解决了Pontrjagin的书第二版上提出的一个问题。他检查了，在那本书的第二版出版后这个问题没有被做出来。但不幸的是，后来他发现这个问题已经在第一版和第二版之间被做出来了。

属于他的幸运时刻仍然没有到来。

1967年圣诞节，Enflo意识到他应该研究更具体一点的问题，而不是最广泛的拓扑群。他觉得他应该把他的“哲学”拿来试一试巴拿赫空间最重要和最著名的几个问题：Schauder基问题（泛函分析的创始人Banach本人提的）、逼近问题（伟大的Alexander Grothendieck提的。顺便说一句，Grothendieck在转入他波澜壮阔的代数几何研究前，对泛函分析同样做出了伟大的贡献，堪比Banach）。现在想起来，他真的是够有英雄气概，一个孤独地挣扎了三年还没有在数学上成功的年轻研究生（时年23岁），开始挑战当时一个领域最著名最难的问题。他考虑了几个星期以后，他没有在里面发现运用他的“哲学”需要的有限现象，但是他却意识到了如果这样的Schauder基存在，那么一定会有一个“基常数”（basis constant）, 他同时也理解了一些貌似很自然的构造基的努力为什么会失败。他的这个发现在几年后用5页纸的论文发表了，那篇文章引用的参考文献只有一篇。

到了1968年夏天，Enflo的数学生涯终于开始迎来了转机。他证明了Lp和Lq空间是不一致同胚的，只要p和q不相等且在（1,2）中，这个证明（只用了3页纸）使用了他前两年的关于非线性型的洞察。有人告诉他另外有一个以色列数学家Lindenstrauss也证明了类似的结果，不过这一次Enflo是幸运的，他检查了以后发现Lindenstrauss的结果和他的恰好是互补的：他证明了1和2之间，Lindenstrauss证明了大于等于2的情形。Enflo在检查Lindenstrauss的文章时，顺带发现了那篇文章里提到了Smirnov问题，那个问题已经被提出来15年了。Enflo只花了两个月时间，综合使用了“哲学”和“非线性型”（后来被称为Enflo type）这两个他发现的洞察，只用了3页纸就证明出来了。这下把他的导师Hans Radstrom震惊了，他建议Enflo把这篇短文章投稿到Acta Math. 他把文章投给了L. Carleson，但是Carleson立刻就拒了，还把他批评了一顿。Enflo觉得Carleson的批评和他毫不相关，但是Radstrom把他摁住了，告诉他“Carleson是大佬，别惹他，他就是很喜欢使用他的power”. Enflo把文章投到了瑞典的另一个小杂志，他的这篇文章里的构造在三十多年以后被伟大的数学家M. Gromov大加赞赏。

这篇短文里提出的概念generalized roundness以及上面提到的Enflo type的短文，到了50年后的2020年和2019年，还在被Annals of Math和Inventions这样的杂志里的文章重点引用，甚至文章的标题就命名为Enflo type.

在Smirnov问题上的成功，Enflo获得了对他的两个洞察的信心，激励了他从1969年一月份开始重新回到Scharder基问题和逼近问题上来。这一次他发现了运用他的“哲学”所需要的“有限维现象”，虽然离最后的成功还差很远，但是他完全被自己说服了：Scharder基问题和逼近问题的回答都应该是否定的，应该去构造反例！

时间来到了1969年夏天，后来被Enflo自己描述的“五年的孤立奋斗”被打破了。泛函分析的两位世界级大佬Joram Lindenstrauss和Pelczynski（1983年做过ICM一小时报告）来到斯德哥尔摩访问了几天。他们终于知道了Enflo这个年轻人的存在，完全被他所得到的结果震惊了。两位大佬完全肯定了Enflo的贡献，Enflo的工作甚至影响了后来Lindenstrauss的研究。谁也无法预测，几十年后的今天，当初完全被人忽视的Enflo早期孤独奋斗时思考的一些只依赖于巴拿赫空间的度量的研究后来成为泛函分析的主流，并被使用到理论计算机中。

Lindenstrauss后来的学生A. Naor（先在Courant所，现在Princeton ）是现在这方面的世界级领袖。顺便说一句，Joram Lindenstrauss的儿子Elon Lindenstrauss是2010年Fields奖得主，女儿Ayelet也是数学家，属于那种研究可以发Inventions的级别。Joram Lindenstrauss的太太是理论计算机专家。他们家是少有的丈夫、太太、儿子、女儿都发表过顶级数学杂志的例子。

Joram Lindenstrauss在1970年成为Enflo的博士论文答辩的主席。

博士论文答辩以后，Enflo开始找工作，他申请了瑞典的若干类似于博士后的位置。他的导师Radstrom说：“如果这个世界上还有一丁点儿公义可言的话，你应该会拿到其中的一个”（If there is any justice in the world, you should have one of these positions）.

事实是：真的没有公义。Enflo没有拿到博士后位置，其中的一个理由竟然是有大佬不喜欢他用自己的方式去进攻那些长时间的难题，认为这个太有野心了。当时，著名数学家Kaak Peetre很喜欢他，Peetre去找更有权力的Garding，希望Garding能够给Enflo在Lund大学创造一个这样的博士后位置。Garding拒绝了，说他找不到理由为什么要这样做。后来在Enflo成名以后，Garding还是很支持Enflo，不过那已经是太后来的事情了。

Enflo在瑞典拿不到位置，但是，他拿到了美国Berkeley的Miller fellowship，这个位置一般是给成名数学家的，譬如著名的Perelman在回俄罗斯潜心解决彭加莱猜测以前就在Berkeley拿到这个位置。嗯，为什么全世界在本国受到不公正待遇的科学家大部分都在美国找到了存在价值？

1971年八月，Enflo到达伯克利加州大学数学系。

到达伯克利的第一个月，Enflo就解决了一个已经30年的公开问题。伯克利令人兴奋的自由环境让Enflo获得了新的学术上的刺激，使得他可以把过去5年的“孤岛时期”的思想揉在一起，在多个问题上取得进展。但是，天性决定了Enflo不可能满足于此。1972年2月，经过了一个不眠之夜，Enflo决定还是回到他最初想要做的那两个大问题：基问题和逼近问题。他现在已经有了更多的经验来处理构造复杂的有限维空间去逼近无限维问题，他坚信他的“哲学”可以成功。Enflo觉得哪怕需要花他很多年的时间，这也是值得的。

实际上，一旦他开始重新回到这个问题，进展比他想象的要快得多：4月10号，他突然间意识到了一个新的点子，后来被称为“平均迹”（average trace）。然后到了5月10号，在他推着婴儿小推车和刚出生一个多月的女儿Karin散步的时候，他突破了最后的一个障碍，他一举解决了泛函分析里的遗留了几十年的三个大公开问题：（1）Banach提出的基问题，（2）S. Mazur提出的“鹅问题”（波兰数学家Mazur设了一只鹅奖励解决这个问题的人，在1930年代的大萧条时期，一只鹅是很贵的价钱，Enflo最终到波兰去领取了那只鹅！全过程在波兰被电视直播了）和（3）A. Grothendieck提出的逼近问题。Enflo解决这三大问题用了一篇文章，9页纸，文章只有4篇参考文献。

Enflo当年的文章参考文献都很少，因为他解决的都是大问题，而且都用自己独创的思想和方法，没啥好参考别人的。

这一次的成功改变了很多东西：4年前拒绝Enflo投稿的L. Carleson这次主动写信来，请他把结果发表在Acta Math上。Hormander也写信来告诉他这个结果应该发表在Acta Math.上，Enflo接受了两位瑞典最牛的大拿的建议。Garding也来凑热闹，写信问Enflo是否还对Lund大学的博士后位置感兴趣。。。Enflo回信：“我很抱歉，我现在的市场价值太高了”（I am sorry, my market value has become too high.）他获得了6个工作offer，从助理教授到终身正教授，Berkeley, Caltech, Stanford, Michigan都给了他offer. 他最终去了Stanford.

这看起来像是Enflo人生的顶峰，其实并不是。他在Stanford待了几年，在那里，他完成了一生中最重要的贡献：他解决了不变子空间问题，就是Peter Lax的书中提到的那个问题。这篇文章1975年完成，使用了令人不可思议的深刻技巧和多重归纳方法。从问题的解决，预印本世界各地流传，到最后发表在Acta Math上，前后历时12年，文章长达100页。

参考文献：3篇。

即使经过了很多大数学家（譬如Fields奖得主E. Bombieri）的建议，该怎样来把这篇文章写得更清楚一些，最后发表的版本里的证明依然极其艰深。A. Davie评价道：“后半部分简直是不可理喻，这篇文章注定是拿来被人膜拜而不是被阅读的”（the latter part of his paper is so impenetrable that it is destined to be admired rather than read）

据传Enflo1978年和1982年都是Fields奖的候选人。这个我是相信的，不过，看看那两届是些什么人拿到了，他没有拿到也不亏。如果他再年轻十岁，熬到90年代还够资格的话，他应该可以拿到的，他出生于1944年。

最后的注记：Per Enflo终其一生（哦，还没“终”，他还活着呢！甚至还没退休），都保持着一个世界级的钢琴演奏水准，定期演出。

话说数学界（尤其是欧洲）经常出这样的斜杠青年，譬如法国数学家C. Sulem同时是多伦多大学数学系和音乐系的教授（小提琴家）。法国数学家I. Gallagher经常参加职业的钢琴演出，L. Saint-Raymond数学以外达到职业水准的是大提琴。