但数学的重要性还体现在另外一个层面，那就是证明，尤其是用于实验科学的证明。检验真理的标准是实验的可重复性，所以无论什么理论，都必须通过数学实验得到独立的论证。冯·诺依曼曾经说过，这个想法在他的一生中曾发生过多次改变，但事实却依然如此。数学有着惊人的稳定性，2000多年前欧几里得书里的证明至今看依然非常有效。证明的目的，是为了理解。对数学家来说，仅仅知道某件事是正确还是错误，是不够的，他们更想知道为什么它是正确的，它背后的思路是什么。

数学之美与物理之美乃至科学之美，是一致的

证明的过程，可以是美丽的，也有可能是丑陋的。如果你听过两个数学家之间的对话，你很可能会认为，他们应该是艺术家，因为他们常常会谈论这个证明美、那个证明则不怎么样。

那么，数学中的“美”意味着什么？“美”是无法定义的。当然，数学家会使用非常简单的乘数、深刻的道理以及复杂的证明去展示这一点，就像伟大的费马大定理一样。他们喜欢并且期待来自不同领域的想法，还喜欢通用性，即同一个理念在不同环境中以不同形式出现。

数学中，衡量“美”的黄金标准是伽罗瓦理论。伽罗瓦是法国人，20岁就因为决斗而离世，他从没上过学，没接受过任何正规数学教育，连大学的入学考试也没有通过。当年，他只是一个没人感兴趣的小青年，连长相如何，至今都只有靠艺术家的一些猜测。直到100年后人们才知道他是一个无人能取代的数学天才，他在18岁就创立的群论，改变了后世数学的进程。

现在大家都知道二次方程、三次方程，乃至四次方程，都有求根的解法公式。多年来，数学家一直在寻找一个类似的公式来求解五次或更高阶的方程，但一直没有成功，因为这种公式并不存在，从来没有出现过。

第一个尝试对这一现象进行有力证明的是意大利的数学家鲁菲尼，但他的证明并不完备，他穷其一生都在试图完善这一证明。第一个正确的证明，来自数学天才尼尔斯·亨利克·阿贝尔。他证明，五次及以上的方程是没有求根公式的。而伽罗瓦则解释了为什么会出现这样的结果，还把这一现象和对称性联系起来。这一证明可以追溯到拉格朗日，即任何物体，从宏观到微观的基本粒子，都具有对称性。这种所谓对称性在数学领域就被称为群论。

直到20世纪初物理学家开始研究基本粒子，对称性成为他们重要的研究依据。诺贝尔奖获得者、粒子物理标准模型之父格拉肖说：“我不知道上帝是否存在，但如果他存在，那么他一定知道群论。”

说到美和数学，赫尔曼·外尔说过：“我的作品总是试图将真理和美结合起来，当我不得不做出选择的时候，我通常选择美丽的。美丽的，是我选择的最高标准。”

爱因斯坦提出相对论以后，外尔写了一篇有关统一场论的高质量数学论文，寄给了一本物理学杂志，普朗克是杂志编辑，寄给了爱因斯坦评审。爱因斯坦注意到这一模型的确有美丽之处，但实验数据却和理论模型有差异。爱因斯坦认为，模型是错的。普朗克做了一件了不起的事情，在同一个专栏下同时发表了那篇论文和爱因斯坦的评审结论。10年后，当物理学家开始研究量子力学和规范不变性的时候，外尔的模型完美契合。所以，选择美丽往往也是值得的。

数学这门“奇怪”的艺术，有着最实用的价值

那么，数学家如何知道什么是美？就像学艺术的学生通过听贝多芬、莫扎特的作品知道这就是美，通过临摹伟大艺术家的画作培养自己的鉴赏力一样，数学家也是从伟大的作品中学习美。

但是，亿万人都能欣赏到一幅美丽的画中的图景和美妙的音乐，能读懂关于数论的论文的人数可能连10个都不到。那么，数学是一门奇怪的艺术吗？并非如此。数学是可以得到最好支持的艺术。

数学不仅美，还有其实用性。比如，伽罗瓦发明的有限域，现在用于卫星发射领域。另外一个例子是数学在密码学中的应用。上世纪，如果有两个将军想密信交流，他们会共同确认一本很厚的书上的某一页，该页用于编码。要破解这段代码非常困难，当然编码也非常困难。如今，你收发电子邮件时或者从ATM机取钱的时候，就在与互联网或银行进行密码交换。因为这是数十亿人的共用设备，所以密码必须频繁更改，数学家想出了一个绝妙的新的方法，完全是基于伽罗瓦的有限域。

还有一个数学上的例子。1917年，奥地利科学家约翰·拉东发表了一篇论文，当时他已经是奥地利科学院的成员，他发现一种方法，可以通过直线的积分来推导出原函数。到1970年，科马克和亨斯菲尔德发明了断层扫描仪（CT）并因此获得诺贝尔科学奖。这一发明原理完全是基于伽罗瓦的群论和拉东的函数。X光照射人的大脑，取进入值和射出值，获得一个密度积分，然后将直线密度积分进行计算以后可以得到大脑的一个图像。当然，诺贝尔奖颁发的时候，如果拉东还活着，也可以分享这个诺贝尔奖。

在这多年以前、当我还是学生的时候，被告知真实的世界就是由实数和复数构成的。所谓有限域，伽罗瓦的一些理论、数论，只有极少数的专业人士才会感兴趣。但现在情况已经完全发生了改变。世界上所有的金融交易，其实都是基于这样一个公式进行操作的。

比如，如何建立一个好的网络？互联网时代，从一点将信息传到另外一点，必须花费的时间很少，在网络上走最短的路。第一个基于拉东理论的网络是格雷戈里·马古利斯1980年构建的，利用群论以及泛函分析、以及数论中非常深刻的结论，构建了一个网络。这个网络被称之为拉东测度图像。这篇论文只有3页。这之后，马古利斯也证明了其他的很多理论，得到了很多奖项，包括菲尔兹奖。但目前为止，他本人被引用最多的论文，还是那短短的3页的论文。

数学被分为纯数学和应用数学，是一种“不幸”

到20世纪早期，数学已经开始被改写，无论是抽象的符号还是其他的一些抽象理念的发展，使得数学已经成为一个少数人才能理解的东西。现在的数学，已经被分成应用数学、纯数学，这是很“不幸”的。没有人会问欧拉或高斯，你究竟是理论数学家还是应用数学家，因为他们两者其实都是。但现在，很多大学有纯数学学院、应用数学学院。

但问题在于，如果你问伽罗瓦或拉东或马古利斯，甚至知名的对冲基金创始人吉姆·西蒙斯说，你们到底是纯数学家还是应用数学家？他们会告诉你，他们是纯数学家。

吉姆·西蒙斯谈到过，当他们聘请年轻的数学家的时候，不会问你们究竟是纯数学家还是应用数学家，他们只是需要聪明的大脑。

数学就像一株植物，各个部分都相互连接。如果你想把那些你觉得没用的东西砍掉，而只留下对人类有用的部分，那这个植物肯定会死亡。同样的比喻，也可以用到数学上，每一个部分都不可缺少。

我们现在正在经历的所谓信息革命，就植根于数学、衍生于数学。对大数据而言，它对数学也带来了巨大的影响和挑战，其实这个问题以前都没有得到充分的考虑。人工智能也好，机器学习也好，基因组学也好，甚至对消费者情绪的预测……这些领域也出现了同样的问题和挑战。因为现在我们出现了巨大的数据矩阵，这些矩阵太大了，甚至无法放到内存当中。我们知道矩阵是对它里面的元素计算的一种方式，计算的是一种可能性，甚至我们不需要知道精确的一个值。

如果你想解决一些常见的问题，比如说方程组的问题，你可能希望更好的方法，而不是那种老旧的高斯消元法。但是在大数据时代，这些老的计算方法已经不能用了，这对数学是个巨大的挑战和问题，可能这个问题会存在整个世纪。目前我们并不知道数学的哪个分支会最终帮助我们解决这个问题。也许，我们需要非常深刻的数学理论才能真正解决这一问题。

（作者为中科院外籍院士、美国科学院院士，菲尔茨奖获得者，

南方科技大学数学系杰出访问教授，此文来自复旦大学高等学术研究院）