“我观察Lina这孩子小时候，对数字不太感兴趣，她爱好的是文字，让妈妈一遍一遍给她念故事，直到能够全背出来，还是喜欢听同样的故事。我想这不够，便督促她接触数字。”小何也说了起来，
“对数字文字的爱好，男孩女孩之间其实并没有太大的区别。我在哥大念书的时候，班上有些女同学对数字很敏锐，不见得比我差，可是她们总以为自己不是学数学的料，没把和数学相关的学科看做自己将来的职业方向。自我选择的这种偏向不是天生的，依我看，是社会对她们的偏颇影响造成的。比方说吧，刚领养Lina的时候，Lonnie 经常到网上查，‘我的孩子长得是不是漂亮？’有了女孩子的家长多半会这样问，而绝大多数生了男婴的家长有兴趣了解的是，‘我的孩子是不是聪明呢？’这种偏向可以说是一面倒，也就是说，孩子的性向在他们有能力做自主选择之前，已经被父母和社会习俗给选定了。其实，隐性的性别歧视在家里早开始了，让女孩子自以为‘我的算术天生就不及男生’，这类想法固定下来，加剧了她们对自己的歧视。女孩子的相貌固然很重要，但是缺乏内秀的木头美人对自己能有什么好处？不过多了些上当受骗的机会而已。有数字观念是一个主要的内秀，我辅导Lina建立对数字的感觉，窗口期开始就抓紧。学习语言的窗口期大约在十四岁就合拢了，而数字学习的窗口期也是在幼年，过了少年再学就晚了，需要心算时就会感得别扭。你看小Lina十二岁了，就算她是个文艺型吧，对数字的感觉现在也很不错，有时玩起数字游戏，几个哥哥还输给她呢。”
“我看许多美国人，平常很精明能干的，一碰到算数就显出低能，心里不免奇怪，准是小时候没打好基础吧。我同一些洋人太太一起到商店买东西，她们老是对buy one get one free（买一送一）更有兴趣，掏出钱来便买，对50% off（打对折）的东西反而兴趣缺缺，这不犯傻吗？售货员也一样，找零钱往往要用加法，譬如说，给她一张50元的票子，她一边找给你一张10块，再给一张5块，再给出一张1块，然后加上1分的一个硬币，一边念念有词，‘鞋子33.99，这是43块9毛9、 48块9毛9、49块9毛9、 50块整……’，这不等于连做减法，彼此都没有信心吗？”
“还真是的，我也常常纳闷，”玫绮接着Lonnie说，“发展到高科技的信息社会，大众的算术竟然还是这么差劲，算术难道有这么难吗？前几天还看到你们加州，教师联合什么委员会，提出方案干脆取消小学里的算术考试，认为可以学一点但不要计入学习成绩，有比这更荒唐的事吗？小学生在学校里教的不严，家长也不督促，算术没学好，怕丢脸，索性把孩子的头朝沙里插，朦骗自己就能完事了？课堂上蒙混过去了，市场上难道也能过关不成？连算术学得好不好也看作是种族歧视，干脆拒绝测评，实质上是把某类孩子看扁了，认定他们天生就不配学好算术，那才是最彻底的种族歧视呢。”
“人类演化到现在总有两百万年了，直到进入农耕社会，大约就一万年以前吧，可以说没什么多大的差别，大脑智力水平也大致相仿。真正在各个社会之间拉开差距的，是近四、五百年的事情，合作竞争的结果，文化组织的不同选择造成的。种群之间的智力即使有差别也不显著，远不及群内个体之间的差异。比方来说，NBA现在打球的高手几乎清一色是黑人，乔丹和一般黑人孩子有非常大的差距，拉里伯德高出白人孩子的平均也非常多，但并不表示乔丹和伯德之间有不可逾越的差距。再说，比起三千年前的古人，现代人不见得更智慧一点，哪个人敢说他比老子、苏格拉底高明？又有谁比得了荷马、屈原？只要个人努力，也只有个人靠自己的努力，天生的差别是可以克服，都会有成果的。”
“理当如此。冯老师你说的对，社会富足以后现在人反而变得怠惰起来，想靠政府来强制平衡，岂不是缘木求鱼？不明白这层道理的人恐怕都吃了苦头，迟早要吃苦头的。天赋的权利是什么？说到底，不外乎自我努力的意愿，有自主选择的均等机会。老天给人权利，更是一种责任，让每个人有负起自己责任的自由。拿学算术来说吧，既然是人生必需的，有了平等的学习机会，也成了各自的责任，逃避这个责任等于荒费掉相应的权利。以前逛菜市场看到卖葱姜的老太婆，心算的能力蛮不错，别说加减法，乘法除法也不在话下，每分钱算得清清楚楚。我就好奇她们大字不识几个，读书看报自然不沾边，竟有这等能耐？后来弄明白了，我们中国人从来就看重算数的能力。我看到过在湖北里耶出土的竹简，早在秦代就记录下九九乘法表，很别致的从下往上倒着排列而成的表。小时候不背九九表，错过学算术的窗口期，不管你是哪类人，注定是要吃亏的。”
“正是这样，学数字同时也是学推理，这在生活里是必需的，做选择拿主意做决定有非常大的好处。数字观念差，对数字没感觉的人，不但收入低、不快乐，容易犯错，而且健康更差、生病更频繁，平均寿命也短不少。说到对数字的感觉，还有客观认知和主观认知之分，” 小何顺着我说起来，
“有些人算数没问题，算得很快，推理却不行，往往自相矛盾，因为他们没分清数量关系的主观感觉和客观认知，把两个搞混在了一起。Lonnie刚才说到的‘买一送一’，就是很好的一个例子，这里面的关键字是‘免费’，get one FREE，人们一听到 ‘白送’ 这个有魔力的词就会跟着起舞，急急想白吃顿午餐。搞营销、定市场策略的人于是利用这种心理偏差来设局，诱使瓜民入套。现代社会生活很多是靠网上交流，没节制地浏览信息，以为既然免费，便多多益善，不做筛选淹没在伪信息的浪潮里，中了邪招而不自知。我经常告诫几个儿子，别看你们数学好像不错，有数学学位电脑硕士什么的，要是不时时提醒自己反思，健全的选择远远做不到水到渠成。现在我也这么提醒小Lina。”
两个月后我两剂疫苗接种完毕，没觉得任何不良反应，心里便不踏实起来，该不是搞错了给我注射的是蒸馏水？于是打电话问老冯，他回话称自己和Connie同样没有任何不舒服的反应，说问问小何打过了疫苗没有，感觉如何。于是我们三个上网聊了起来。
“我们还没排到呢，我感染过，已经有了自身免疫，Lonnie还没满六十，正打算去接种强生的疫苗，许多人听说强生疫苗会造成血栓，不敢去打，疫苗因此有剩余，给了她一个机会，”小何讲，“我仔细查了传闻的源头，数据在那里明明白白的，接种强生疫苗的已经有九百万人，发生血栓的案例才28个，概率非常小，每百万人里才3个，疫苗是否导致血栓的主要原因还不清楚。太太有点怕，说不如等等去打辉瑞疫苗，我却认为早点打早安全，有什么可以担心的？既然得血栓的概率比中乐透还要低。我问她，到赌场去碰运气的话，扔骰子要一连出来六个5才赢5万块的话，你打算出几块来玩呢？统计告诉我们，即便出1元也是划不来的，因为一连出现六个同一数字的机会不满5万分之一。注射强生疫苗出现血栓的概率只有三十几万分之一，相当于同一个数字连中7次，可以忽略不计。她倒是想通了，下礼拜就会去接种疫苗，赶在别人前头。
“数字的意义如何，感觉很重要，我们上次说到过了，人对数字的直觉有客观和主观之分，两者不匹配不协调会带来麻烦，彼此矛盾甚至冲突时更容易犯大错。人对数量的感觉会有心理偏向，而且很顽固的。人们对极小概率的事件格外敏感，定向偏误会很大，惧怕强生疫苗只是一个例子。乘飞机旅行怕掉，令人害怕，其实航空失事概率非常小，远远小于平时在高速路上驾车出事的概率；玩乐透彩票又贪，其实中奖的机会极小，小于遭到雷劈的机会！现在有很多人在质疑，接种疫苗对我究竟有效呢还是有害？大规模的实证结果，有效率到了95%，甚至可能高达99%，但不少人还是在质问，为什么不是100%的安全呢，好像从来没在现实里生活过，这世界上难道有百分百的事情吗？有哪种病你百分之百绝不会生，又有哪种药是百分之百有效的？”
“我自己就有过这样一个经验。1996年春天我在香港中文大学访问时，正遇到英国发现“疯牛病”，消息传来很骇人，一时间几乎没人敢吃牛肉了。港岛卖牛排的餐馆，无不打出广告，自称卖的是“阿根廷牛肉”或“澳洲牛肉”。中大附近有家牛排店，没标明牛肉的来源地，立马变得无人问津，店里只得降价打了对折，同事们议论后仍然不敢冒险去吃。当时我想，这坏运气的机会不到千万分之一，难道还会轮到我孙某？硬是赌气去吃了一回大甩卖的牛排。不过吃了后心里会犯嘀咕，不是有人说，疯牛病发作可以等上十几年吗？上次萨斯爆发，民众不知信了哪门子邪，纷纷囤积海盐，说是带碘的盐能防治萨斯病毒，闹出笑话，商店里连盐也卖断了档。”
听了我的话，老冯说，“大凡跟命有关的，哪怕一丁点的威胁都会叫人恐惧莫名。这回庚毒大流行不就这样吗？COVID-19在去年庚子年爆发的， 就把它叫做庚毒吧，中性简便一点。人们对风险的主观感受和实际上的风险概率会急剧偏离，反应容易过度，哪怕为了增加一点点安全性，防范哪怕不到万分之一的风险，都愿不惜付出完全不相称的巨大代价。理性思考在这种场合因此特别要紧，平衡自己的恐惧心理，回归客观的风险概率，努力靠拢基线。这个base rate，所谓基线，不就是你们经济学里常常在讲的‘机会成本’吗？”
“冯老师像个老法师，一说果真就在了点子上，这个‘机会成本’是我们经济管理学里头顶重要的一个观念。现代社会人做选择是越来越复杂了，你这个选择好在哪里，需要和你没选的那个选项来做比较，相对是好还是不好，有利还是有害，要看你是怎样看待那个被舍弃不选的选项。选择本无所谓绝对好或者绝对坏，就算有的话，我们也只在两者中间的灰色地带里做取舍的。所以，为什么拿这种情况而不是别的情况来做比较，从而计算出机会成本，是非常要紧的，所谓 benchmark case，我们这行叫做‘次优选项’，被舍弃的次优选项要选得合理正当，否则算的再精细也是无效的。也就是你说的，那个基线要搞对啰，选择是否健全这是个关键……
“我这里给你们举个小例子，我们邻居家有条狗生了一窝小狗，Lina很喜欢那条狗，想收养一对小狗，一公一母。邻居随便挑了两只，跟她说，其中一只是公的，可是不清楚另一只是公的还是母的。我于是问小Lina，算算看，你如愿以偿的机会有多大呢？顺便也考考你们，这个例子的base rate是多少呢？”
“有一半，”我抢着说。
“我想也是50%的机会，应当没错吧，”老冯跟着回答。
“再想想应当是多少…… 答案是三分之二，66%的机会.......”
“哦，我明白了，看来要有良好的数字感觉还不那么简单，”老冯承认。
“健全的数字直觉不是人人都有，还真是这样，一些人天生的悟性，我们大多数人靠后天训练出来的。Lina也回答有一半的机会，起初她还不相信我的解答，说出理由让我好奇，于是在同事和下属里我做了测试，看看他们的直觉反应又是怎样。在华尔街做事的数学一般都拿得起，起码自认为拿手。我下面许多雇员，不仅出身名校，不少还有数学物理等科学博士学位，他们的即刻回答多半也是50%，我给出正确答案后还琢磨半天呢。这个小问题帮助我自己理解，在现代生活的复杂环境里我们要做成健全的决策并不简单，因为大脑是经过了数百万年的进化才积淀而成的，有它很多固有的心理倾向，不熟悉信息处理的复杂过程，经常会犯各种各样的偏误。这次庚毒骤然大爆发叫人措手不及，颠覆了以往的习惯思维模式，别说大众，连许多专家，医生、科学家都变得不知所云，错得简直荒唐，其中不免有既得利益、固有观念的影响，但是也……”
“我脑子里也一直在转这类问题，”我来了兴致，急急打断小何说，“遇到过这么个问题，挺有意思的，我在大学教管理也教过统计，十几年前在北大教EMBA课程，学员多半是大企业的高级经理，既有学术背景又有实务经验。有个学员来我办公室，提出一个问题要我帮着解答，说是从美国的一个电视节目Let’s make a deal，‘我们来做笔交易’上看来的。问题是这样的：主持人（甲）要被试人（乙）来挑选，桌子上放着三个关着的盒子，其中一个里面有一只苹果手机，另外两个盒子里各有一元钱。乙先任选一个盒子但不打开，接着甲打开余下两个盒子中的一个，显示出里面只有一张一元钞票。然后甲问乙，要不要将乙选定的盒子换成那个没打开的盒子？那个节目重复了无数次，上节目的乙绝大多数都选择不换，而维持自己已经选定的盒子。节目传播开来引起了社会热议，大多数观众都主张维持原选而不更换，换句话说，人们普遍认为不换更有利，自己选定的盒子里藏着价值高的手机奖品的机会更高，至少不低。那么，假如你是乙的话会怎样选择呢？这笔交易你做不做——换还是不换，你的理由又是什么呢？”我问老冯与小何，
“我自己也是反复思量才弄明白的，于是把它改写成一道试题，作为期末考试的一个附加题给学生做，加分还挺高的。结果大多数学生没答出来或没有答全。过了一学期我又在期末考试给出同样的题目，并加了一个子题，要是你认为选择替换更有利的话，愿意最多出多少钱来购买这个‘换的权利’呢？大部分学生的回答很明确，不换盒子，也就是最多愿意出0元来买换的权利。解释的理由有各种各样，答得全对的全班只有一人，他答道……”
“答不出选择交换的机会成本究竟该是多少，问题不在于算术不行，”而是没搞对选择交换的基线是什么。” 没听我说完，小何就插话进来，
“这个案例可是鼎鼎有名，在数学普及史上有一席之地呢。起先提出问题的是一位女士，她可不简单，具有世界最高的智商，吉尼斯纪录里有记载，高达226！ 1946年她出生在美国的圣路易斯，名叫玛丽莲. 萨芳，Marilyn vos Savant, 是娘家的姓，她父亲的家传也不凡，姓Mach，来自法国大数学家哲人恩斯特. 马赫的后裔。倒是蛮巧，在法文里Savant这个词有饱学之士或学究的意思。萨芳自己大学都没毕业，但她对数字感觉极好，尤其难得的，是她把主观的数字直觉和客观的数学方法贯通起来，向大众普及数理逻辑，一点没有学究气味。萨芳在杂志上开了一个专栏叫‘去问玛丽莲’，向读者提出各式各样的数学算法和生活中遇到的逻辑疑难问题，并一一解答，社会反响很大。当年我开始在纽约金融界做事，很有兴趣看她专栏里的问答。后来Monty Hall把萨芳的问题搬上电视频道，节目大受欢迎，回应十分热烈。不过多数人与你在北大的学员一样，不同意萨芳的解答，坚持认为维持原来选择不做交换更为划算。当时给萨芳去信讨论的超过了万人，其中10% 还拥有博士头衔，近千人吧，都回信挑战萨芳的解答。
“人对自己的选择天生有很强烈的偏爱，一旦先入为主，做出了选择就会自然而然坚持下去，不然的话等于承认失败不是吗？而承认自己犯错心里面会怪难受的。在股市里，其他投资决策也一样，这种偏向也很明显。记得当时有一位数学家，科普工作做得很出名的，坚持他为什么不换的理由，辩论了几回还是不愿意被说服，于是有朋友给他做了计算机模拟，测试了数十万遍，显示换比不换要有利得多，他才好不乐意地说，‘接受这样的结果让我感觉很不舒服。’”
“是啊，逻辑证明虽说不困难，可要跟人解释清楚却很困难，我自己反复了好几次还生怕搞错呢，”我说，“后来我用决策树的图才让学生信服，倒没有哪个像那位数学家这么固执，数理逻辑的问题毕竟是可以证明、能被证伪的嘛。换盒子的中奖机会比不换要高出一倍，不换的话，得到手机奖品的概率是三分之一，换了盒子你获奖概率增加到三分之二。因此，假设苹果手机的价格是3999元的话，那么你至多付1333元来取得交换权，才算达到了盈亏平衡点。”
“这个问题以前也听人说过，不过没仔细想过，”老冯一直没有出声，听到这里说，“看到现在竟有这么多人不信任疫苗，夸大接种的副作用多坏，联系这个问题倒可以说明点道理。机会成本在数学上能客观计算，可在人的心理上，机会成本差异会很大，主观感知到的风险成本会有偏离，特别在结果有重大盈亏的时候，人们往往是凭着自己的心理感受而不按理性分析，来行事来做选择的，偏差因而会很厉害。人是感性的社会动物，自然顺从周边人的看法，受其他人情绪和见解的感染。也因此，人们心理感知的机会成本不是简单的算术算得准的。对于人的心理感受来说，得还是失，是输还是赢，大不相同，很难做到中立。人们怕输怕亏损，说到底还是怕后悔，怕自己做错了什么带来的懊悔，人们最要力求避免的其实是懊悔的痛苦情绪。因此人在追求的，实质上是‘懊悔最小化’，相比‘利润最大化’的追求，怕亏损怕犯错的冲动其实要强烈得多。以此来看，人们之所以不愿意接种疫苗，恐怕也是出于同样的心理偏误，尽力回避自己可能出错的痛苦，犯了错也尽力拒绝承认。小何侬是风险管理行家，是不是这样的？”
“本人的经验体会正是这样，和课本里教的、报告上写的有很大出入。输还是赢，人的心理感受绝不相同，尤其在亏损和错失是自主选择造成的情况，错失带来的痛苦感受就格外尖锐。华尔街常常在问的一个难题，一个投资者要赚多少，才能平衡得了亏一万元带来的痛苦。萨缪尔逊也在琢磨这个道理，他是屈指可数的经济学大师，为了验证，他向一个同在麻省理工教经济的同事建议，做一个丢硬币的游戏，要是同事得到硬币的正面，赢萨氏两万美元，否则赔一万。那同事不干，为什么不呢？萨氏问，游戏的期望报酬不是能让你赢五千吗？显然，那个同事把输看得很重，超过了赢的两倍。同事于是反建议，说是把游戏拆分成一百盘，每次我赢的话得二百元，输的话赔你一百，咱们玩一百次如何，萨氏当然没答应啰。”
“这里的关键，是我们得把人，决策者的心理摆进模型里面，数理分析必须考虑活生生的人对风险的心理感受，不然便会失真，会产生严重的偏误。小何你们家在纽约市，街上有被打劫的危险，老孙你住在洛杉矶，地震风险奇高，夏威夷我们这里呢，火山爆发、地震海啸的风险也不小，但是谁会为此就搬家移居呢？工作、房子、亲朋关系都在这里呢。这时人总倾向于看低风险概率，‘哪能挨到我呢？’给基线做这样那样的调整，以便让自己在心理上好受许多。选择不作为，经常是不采取行动，譬如对自己说，‘一动不如一静’、‘天意不至于这么不讲理吧’，把降低心理风险的需要合理化为‘天命天意’，拿自己编造出的‘天意’，来替代基线，来让自己的心理感觉更舒坦。眼下不愿意接种疫苗的人很多，怀疑疫苗的效力，担忧万一这个万一那个，多半是出于同样的道理，心理因素在作怪，怕自己万一选择错了呢，后悔莫及该有多糟糕啊。”
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