英雄出少年，属于伪素数的卡迈克尔数的分布问题被一位高中生弄明白了！

回想一下，你的高中在干什么，有没有值得骄傲的一件事。本文我们将要介绍的这位学生，名叫 Daniel Larsen，在高中的最后一年里，他证明了卡迈克尔数（Carmichael numbers）的关键定理。在他发表了自己的证明后，Larsen 被 MIT 录取，主修数学。

一位数学家对这一研究给与极高的赞誉：任何数学家攻克这一证明都会为之自豪。更别说是一位高中生了。

早在 Daniel Larsen 上中学时，他就对填字游戏痴迷，还曾两次赢得地区比赛。他的母亲 Ayelet Lindenstrauss 曾这样形容他：Larsen 决定开始干一件事就非常专注，直到成功。迄今为止，Larsen 还保持着这样一项记录，他是在外媒上发表填字游戏最年轻的人，当年他才 13 岁。

不过，他的母亲表示，Larsen 在过去的一年里开始思考关于数学的问题。这一转变源于一个更广泛的问题，曾被数学家 Carl Friedrich Gauss（高斯）评价为数学中最重要的问题之一：如何区分素数（只能被 1 和自身整除的数）和合数。数百年来，数学家们一直在寻找有效的方法来解决这个问题。

一个多世纪以前，在寻求快速、强大的素性测试（ Primality test ）过程中，数学家偶然发现了一些麻烦——有些数不是素数，也会让测试误以为它们是素数。这些被称为卡迈克尔数的伪素数特别难以掌握。直到 1990 年代中期，数学家才证明它们的数量是无限的。这就引出另一个问题，要想进一步了解它们在数轴上的分布情况，则是一个更大的挑战。

后来 Larsen 提出了一个新的证明，感兴趣的小伙伴可以阅读下面的论文。发现这项证明时，Larsen 只有 17 岁。

论文地址：https://academic.oup.com/imrn/advance-article-abstract/doi/10.1093/imrn/rnac203/6647493?redirectedFrom=fulltext&login=false

打小就对数学感兴趣

Larsen 在印第安纳州布卢明顿长大，一直被数学所吸引。他的父母都是数学家，在他和姐姐很小的时候，父母就向他们介绍了这门学科。（他的姐姐现在正在攻读数学博士学位。）当 Larsen 3 岁时，他就开始询问母亲关于无穷大本质的哲学问题。

几年前，他还沉浸在填字游戏，偶然的一次机会，他发现了一部关于张益唐的纪录片深受启发。张益唐于 2013 年 4 月在《数学年刊》上发表《素数间的有界间隔》，首次证明了存在无穷多对间隙为有限的素数，从而在孪生素数猜想这一数论难题上取得质的突破。半生潦倒，58 岁时凭此证明，成为公认的数论学家。其坎坷而传奇的数学旅程在学术圈内外引起反响。

在此启发下，Larsen 对数论的思考根本停不下来，他对数论中著名的未解决问题孪生素数猜想开始产生兴趣。该问题可以这样描述：孪生素数就是指相差为 2 的素数对，例如 3 和 5，5 和 7，11 和 13…

张益唐的研究证明了存在无穷多对相差小于 7000 万的素数，之后其他人也加入进来，随后的几个月内，数学家 James Maynard 和陶哲轩他们独立地证明了关于素数差距的研究。此后，这一差距缩小到 246 个。

Larsen 想了解 Maynard 和陶哲轩研究背后的数学原理，不过 Larsen 发现他们的论文太复杂了，他试图阅读相关的作品，却发现这些也难以理解。Larsen 一直在坚持，直到 2021 年 2 月，他发现了一篇他认为既漂亮又易于理解的论文，主题是：卡迈克尔数，这些奇怪的合数有时会伪装成素数。

卡迈克尔数

17 世纪中叶，法国数学家皮埃尔 · 德 · 费马（ Pierre de Fermat ）给他的朋友兼知己 Frénicle de Bessy 写了一封信，他在信中陈述了后来被称为费马小定理（little theorem）的东西。即如果 N 是素数，那么无论 b 是什么，b^N- b 始终是 N 的倍数。例如，7 是素数，因此 2^7 – 2（等于 126）是 7 的倍数，类似地，3^7 – 3 是 7 的倍数，依此类推。

数学家看到了完美检验给定数字是素数还是合数的潜力。他们知道如果 N 是素数，则 b^N – b 总是 N 的倍数。如果反过来会成立吗？也就是说，如果 b^N – b 是所有值 b 的 N 的倍数，那么 N 一定是素数吗？

事实证明，在极少数情况下，N 可以满足这个条件并且仍然是合数。最小的数字是 561：对于任何整数 b，b^561 – b 始终是 561 的倍数，即使 561 不是素数。像这样的数字是以数学家 Robert Carmichael 的名字命名的。

Larsen 完成证明后，他给数论领域的一些顶尖人士都发了一份草稿。令他惊讶的是，他们都读了并回复了他。

数学家想要更好地了解这些与数论中最基本对象素数非常相似的数字。事实证明，在 1899 年，另一位数学家 Alwin Korselt 提出了一个等价的定义，这要比 Carmichael 的结果早了十年。当时，他只是不知道是否存在任何符合要求的数字。

根据 Korselt 的准则，当且仅当满足以下三个属性时，一个数 N 即是一个卡迈克尔数。首先它必须有 1 个以上的素因数；其次没有任何重复的素因数；最后对于每个能整除 N 的素数 p，p-1 也能整除 N-1。再次考虑数字 561，它等于 3 × 11 × 17，它显然满足 Korselt 准则中的前两个属性。为了满足最后一个属性，从每个素因数中减去 1，得到 2、10 和 16。此外，561 也减去 1，这样 2、10 和 16 都是 560 的除数。因此数字 561 是卡迈克尔数。

尽管数学家们质疑卡迈克尔数有无限多个，但与素数相比相对较少，这使得它们难以确定。之后在 1994 年，Red Alford、Andrew Granville 和 Carl Pomerance 发表了一篇突破性的论文，他们最终证明这些伪素数确实是无限多的。

论文地址：https://www.jstor.org/stable/2118576?origin=crossref

遗憾的是，他们提出的方法无法说出这些卡迈克尔数的「真实面目」，比如它们是否沿着数轴成簇出现以及中间是否有很大的间隔？又或者是否总能在短时间内找到一个卡迈克尔数？Granville 表示，「你会想，如果能证明它们的数量是无穷多的就好了。当然你应该能够证明它们之间没有很大的间隔，它们应该相对间隔开。」

特别地，Granville 及其合著者希望证明一个这样的说法，即给定足够大的数字 X，在 X 和 2X 之间总会有一个卡迈克尔数。对此，美国国防分析研究所从事相关工作的数学家 Jon Grantham 表示，「这是表达卡迈克尔数无处不在的另一种方式。」

但几十年来，没有人能够证明这一点。Alford、Granville 和 Pomerance 提出的方法让我们能够证明存在很多卡迈克尔数，但并没有真正指出它们到底出现在哪里。

2021 年 11 月，转机来了。Granville 收到了一封来自 Larsen 的电子邮件，并附上一张证明纸。令 Granville 惊讶的是，他的证明看起来是正确的。虽然读起来并不容易，但很明显他并不是在胡闹，提出了绝妙的想法。

Pomerance 阅读了 Larsen 证明的更新版本，同意其证明非常先进，并表示「这将是一篇任何数学家都为写下它而感到自豪的论文，况且这是一个高中生写的。」

Larsen 证明的关键也是最开始将他吸引到卡迈克尔数的工作，即 Maynard 和 Terence Tao 在素数间隔上的结果。

从不太可能到并非不可能

当 Larsen 第一次着手证明总能在很短的时间内找到一个卡迈克尔数时，他表示，「卡迈尔克数看起来切切实实存在，证明它又有多难呢？」不过，他很快意识到这确实很难，并认为这是一个考验我们时代技术的问题。

在 Alford、Granville 和 Pomerance 等人 1994 年的论文中，他们展示了如何创建无限多个卡迈克尔数。但是他们无法控制用于构建它们的素数的大小。这就是 Larsen 构建规模相对接近的卡迈克尔数需要做的事情。

他的父亲 Michael Larsen 也对这个问题的难度表示担忧，并表示，「我不认为这是不可能的，但我觉得我儿子不太可能成功。他在这件事上花了很长时间，如果为此付出了很多却得不到好的结果，那对他将是毁灭性的打击。」

不过，他父亲也知道自己最好不要阻止，「当 Larsen 沉迷于自己真正感兴趣的事情时，他会不顾一切地坚持下去。」

所以，Larsen 重新回到 Maynard 的论文，特别是为了证明如果采用了某些具有足够数字的序列，这些数字的子集一定是素数。Larsen 改进了 Maynard 的方法，将它们与 Alford、Granville 和 Pomerance 使用的方法相结合。这使他能够确保自己最终得到的素数大小不同，足以生成落在他想要的间隔内的卡迈克尔数。

Granville 表示，「Larsen 对事情的控制比我们以往任何时候都要好，他通过巧妙地利用 Maynard 的研究实现了这一目标。」芬兰图尔库大学的数学家 Kaisa Matomäki 也表示，「在素数之间的短间隔上利用这一研究并不容易，很高兴他能够将它与关于卡迈克尔数字的问题结合起来。」

事实上，Larsen 的论证不仅仅让他证明了卡迈克尔数必须始终出现在 X 和 2X 之间。他的证明也适用于更小的间隔。

目前，正在 MIT 读大一的 Larsen 不确定下一步要解决什么问题。他努力上课学习，并始终保持开放的心态。Jon Grantham 对他评价称，「他在未接受本科教育的情况下就完成了这一切，不敢想象他上了研究生又会取得哪些成果。」