我在做科普报告时常有人会问，数学有用吗、有什么用？事实上，数学不仅有用，而且是最有用的学科之一。许多人对数学的理解常常停留在高深、抽象的数学证明层面，由此也衍生出了一些“数学无用论”的笑话。
不过，笑话归笑话，但这却说明了一个残酷的现实：在公众中的确有人对数学的作用不了解，认为数学只是数学家的游戏，与实际生活无关，甚至觉得数学对国家社会的发展没什么作用。
而真实情况是，数学从它的诞生之日起就打上了应用的烙印。货物交易、土地测量、历法等都是古代数学研究的内容。我国古代的数学著作《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》等等，内容也都是研究日常生活相关的计算问题。
我国古代著名的哲学家老子在《道德经》中写道：“善数，不用筹策”，意思是善于计数的人不用筹码也可以进行计算。可见，他对数学的作用也是充分肯定的。“亚圣”孟子是辩论大师，《孟子》中大量应用归纳、演绎、类比等逻辑推理的方法，而逻辑推理也是数学的基础。
数学还为其他学科的新发现提供了指导和表达形式。这方面例子比比皆是：微分方程为流体力学、微分几何为相对论、数论为密码学、博弈论为经济学的发展都提供了强大的理论支撑。数学是所有自然科学的基础，也是强有力的工具，对很多其他科学领域的发展起了重要的作用。
不少其他领域的科学家对数学的重要性有充分的阐述。达尔文是举世闻名的生物学家，他提出了生物进化论学说、出版了著名的《物种起源》。他曾经说过：“任何新发现在形式上都是数学，因为我们没有其他引导。”达芬奇说：“人类探索如果不能用数学表达，就不能真正称之为科学”“力学是数学的乐园，因为我们在这里获得了数学的果实。”

达尔文（1809-1882）

当然，有些数学家关注的问题是高度抽象的纯数学问题，这些问题可能看上去在现实中没有直接的应用。也有的数学家本身对有应用背景的数学问题兴趣不大。因为一旦需要解决实际问题，很多理想的假设不成立，分析和推导就可能不够完美。总之，对应用有偏见的数学家还是存在的。著名数学家哈代就是其中之一。
哈代认为真正的数学就是不应当与应用挂钩，而且毫无遮拦地瞧不上应用数学。他在《一个数学家的辩白》中写到：“真正的数学对战争没有影响，……有一些应用数学的分支，……也许很难说它们是‘微不足道的’，但它们没有一个是‘真正的’数学，它们是令人厌恶的丑陋以及不堪忍受的无趣。”“我没有做过任何‘有用的’工作。我的发现，无论是直接的还是间接的，无论好还是坏，对这个世界不起任何作用。”
不过，有意思的是，哈代本人的有些工作在实际中确实得到了应用。比如，哈代-拉马努金渐进公式在统计物理中派上了用场，也被著名物理学家玻尔用于原子核量子分区函数的计算。这足以反驳哈代的“数学无用论”。
好在像哈代这样偏执的数学家是极少数。大多数学家都认识到数学必须与实际紧密结合。俄国数学家切比雪夫曾诙谐地说：“使数学脱离实际需求，就好比把母牛关起来不让它接触公牛。”切比雪夫在素数理论、函数逼近等方面有着重要贡献，切比雪夫多项式、切比雪夫不等式都是以他命名的。     

切比雪夫（1821-1894）

总之，数学的应用随处可见。印度作家夏琨塔拉·戴维曾说过：“没有数学，你什么也不能做。你周围所有的东西都是数学，你周围所有的东西都是数字。”

2020年，国际数学联盟庆祝首届国际数学节的主题词就是“数学无处不在”。这正是向公众宣传数学在各行各业正发挥着重要作用。

我们再举几个数学发挥重要作用的例子。第一个例子是CT成像，CT肺部影像是帮助医生确诊该病的重要依据，而它的原理其实是数学中的拉东变换。

拉东（1887-1956）

拉东是奥地利数学家，他在变分法、微分几何、测度论等方面有重要贡献，拉东变换就是以他命名的。
数学还在土木工程中发挥了重要作用。无论是桥梁、水坝，还是高层建筑，在设计中都需要用到有限元方法对其结构进行应力分析。
有限元方法是求解微分方程的一类数值方法。二十世纪50年代末至60年代初，我国计算数学的奠基人和开拓者冯康在解决大型水坝计算问题的集体研究实践的基础上，独立于西方创造了一套求解偏微分方程问题的计算方法，当时他称之为“基于变分原理的差分方法”，也就是如今所指的有限元方法。1984年，冯康还开创性地提出了基于辛几何以计算哈密顿体系的方法，即哈密顿体系的保结构算法。此类算法在天体轨道计算等诸多方面有广泛应用，他因此获得了1997年国家自然科学奖一等奖。
1982年，他推荐笔者（时为他的硕士生）去剑桥大学攻读博士学位，学习优化理论，并对笔者说：“你要出国就不要学有限元，要学有限元就不要出国！”大有“老子有限元天下第一”的自信和霸气。冯康一家人都是国之栋梁，他的姐夫叶笃正是著名气象学家，曾获国家最高科学技术奖。弟弟冯端是著名物理学家。

在地球勘探中，为什么我们能知道看不见、摸不着的地下结构，了解油、气、煤等资源的分布情况呢？除了钻井直接取样这样的高成本方法，更多的是依赖间接的方法，即地球物理勘探，而其核心则可以归结于数学中的求解微分方程反演问题。

数学在天气预报中同样发挥着核心作用。现代天气预报的准确性不仅依赖先进的探测技术（如卫星、雷达），更需要倚靠先进的数值天气预报模式以及快速的计算方法。而后者在本质上都是数学问题。我国著名气象学家、应用数学家曾庆存曾获得2019年度国家最高科技奖，他也是世界上第一个用原始方程进行天气预报的科学家。

在航空领域，飞机的外形设计、航空发动机的设计等等最终都是要解决数学、物理问题。这些问题实质是复杂的流体力学问题。在飞机设计中，数学数值方法的引入可以大大降低风洞实验的次数，从而极大地缩小设计周期和成本。

在航天领域，数学同样也起着至关重要的作用。在飞行轨道选择、推力规划方案制定、航天器有效载荷布局设计等等都有赖于数学方法。这其中，无论是卫星还是火箭轨道，拉格朗日点是一个必知的概念。事实上，拉格朗日是出生在意大利的法国数学家、力学家、天文家，他在变分法、微分方程、数论等数学的多个分支有杰出贡献，有拉格朗日中值定理、拉格朗日内插法、拉格朗日乘子法等许多以他命名的方法和定理。

拉格朗日（1736-1813）及拉格朗日点示意图

在大数据、人工智能等领域的问题，其核心问题也几乎都是数学问题。例如，通过机器自动识别手写阿拉伯数字，自动识别信封上的邮政编码、提高分拣效率。而通过机器学习的手段“训练”计算机“识别”不同的手写数字本质上就是利用已有数据建立分类模型并对新数据进行分类。同样地，语音识别、指纹识别、虹膜识别等问题的核心都可以归结为数学上的优化问题。
自动导航和自动驾驶等能够得以实现，实质都是人类利用数学的方法和手段训练计算机、编写程序，使得计算机拥有这些能力。其中的道路规划，无论是路径最短还是时间最短，都可以归结为图与网络流的优化问题。

数学在图像分析和图像处理的发展中也起着关键作用。比如，图像去噪实际上就是求解稀疏优化问题。如下图，通过求解一个数学问题，我们就可以把一个加了噪声的照片（右）恢复成原始清晰的照片（左）。

压缩感知技术也是图像处理中运用较多的技术，为的是用最少的存储单位记录尽可能清晰的图像。这个问题在科学、工程以及国防等诸多方面有重要应用，该问题的核心是求解一个大规模（变量个数几千万甚至上亿）的线性方程组问题，并且希望求得的解尽可能稀疏（即尽量多的分量为零）。这个问题描述起来很简单，但本质上是一个非常困难的问题（NP难问题）。陶哲轩等人证明了该困难问题在一定条件下等价于1-范数优化问题（容易问题）。陶哲轩是出生于澳大利亚的华裔数学家，他在中学就获过奥赛金牌，后来得了菲尔兹奖，在数论、调和分析、偏微分方程、组合论等多个方向有突出贡献，一度被称为“世界上最聪明的人”。

陶哲轩（1975-）

我们还可以利用数学方法将一张照片进行有趣的图片编辑。比如，给一张红叶的照片，再拿一张黄叶树的照片提供色彩方案，就能得到一张黄叶照片。在数学上，其实就是采用最优传输算法将一个概率分布转换为另一个概率分布，从而实现照片的转换。

读者们可能很难想象，微分几何这样的纯数学在图像处理中也发挥着巨大作用。传统的肠镜检查往往给病人带来痛苦和不适，让人望而却步。而虚拟肠镜技术利用CT扫描获得断层图像，经过分割和三维重建，即可得到肠子的三维模型。在物理上类似于把肠子给切割、抻开，从而在二维平面上进行病理检测。这种技术就是利用了数学的里奇流作为工具将弯曲的曲面保角地变换到平面上。

里奇流是美国数学家汉密尔顿1982年定义的，以意大利数学家里奇的名字命名。里奇流这一工具在俄罗斯天才数学家佩雷尔曼证明庞加莱猜想中发挥了巨大作用。佩雷尔曼是一位传奇的数学家，他拒绝接受菲尔兹奖，还拒绝了Clay研究所提供的百万美金的奖金。

里奇（1853-1925）、汉密尔顿（1943-）与佩雷尔曼（1966-）

在通讯中，数学也起着至关重要的作用。通讯编码方式、天线设计、通讯资源优化配置等本质上都是数学问题。我国在5G领域处于国际领先地位，而5G标准正是基于土耳其数学家阿勒坎提出的极化码理论。

勒坎（1958-）

在战争中，能否破译敌方密码对战争的走势影响巨大。事实上，无论密码设计还是密码破译都是数学问题。日常生活中，常见的密码是摩尔斯电码，用“短”“长”两种电信号进行编码，在数学上就是用二进制来表示。短促的记为点“・”，长的记为“—”。最常用的是求救信号：“・・・”“— — —”“・・・”（SOS）。用光信号同样可以用快速地闪三下，然后拉长时间闪三下，再快速闪三下来表示SOS。这也是野外徒步或探险往往会装备强光手电筒的缘由。发明这种密码的摩尔斯是美国画家，也是一位发明家。

摩尔斯（1791-1872）与摩尔斯密码

谈到管理科学、金融经济等领域的发展，数学更是居功至伟。金融衍生产品的定价、投资理财等本质上都是数学问题，涉及到随机分析、统计、微分方程、运筹等等。众所周知，诺贝尔奖没有数学奖。但不少数学家获得过诺贝尔经济学奖。其中之一是美国数学家纳什。他广为人知的主要原因是好莱坞电影《美丽心灵》就是以他的传奇故事为原型的。纳什创建了对策论的数学原理，即纳什平衡理论，该理论在商业决策中有着广泛应用。他也因此获得了1994年的诺贝尔经济学奖。纳什还因其在微分方程方面的贡献获得了2015年的阿贝尔奖。

纳什（1928-2015）与夫人2002年于北京

生命科学中的许多重要问题，如蛋白质折叠、基因比对、药物设计等都需要利用数学方法。以蛋白质折叠为例，仅知道基因组序列并不足让我们充分了解蛋白质的功能。而结构决定功能，因此获取蛋白质折叠后的三维结构至关重要。而蛋白质折叠的过程和最终结构都可以通过数学方法进行模拟和预测。
上面许许多多的例子告诉我们，数学的确无处不在。自然和生活中出现的任何现象，我们都可以用数学理论、数学方法进行分析和解释。著名数学家拉普拉斯曾说过：“大自然的一切都是少数永恒规律的数学推论”。

拉普拉斯（1749-1827）