它使得该理论看起来比实际上更难。然而，如果你熟悉复数，那么你已经遇到了一个例子，那就是那些于模为1的复数，

你的本能反应可能是将这些数字视为 e^（i θ）。

但如果你更深入地思考，实际上是在这个复数圆上施加了一个坐标系统，例如，我们可以说这一点是 e^（i * 0.7π），

这个圆是所谓的李群（Lie group）的一个例子，将在稍后解释，但一般来说，它可以是更高维的，更难以可视化的。李理论的精髓是，即使在这些复杂的情况下，也要尽量施加一个坐标系统，使其更容易处理。

让我们稍微详细地阐述李理论，从李群开始。李群同时是两个东西，它是一个群，但也是一个流形。

李群-群

首先让我们了解一下什么是群，因为它是一个更容易的概念。

群基本上是一组满足某些属性的对象，使它们看起来具有对称性。我们期望对称性满足的第一个属性是封闭性。以正三角形的对称性G为例，我们将 h 表示为沿斜轴的反射对称性，g 表示为沿垂直轴的另一个反射对称性，那么将 g · h 定义为函数组合，即首先做 h，然后做 g。事实证明，g 和 h 组合是一个旋转。结果不重要-重要的是结果仍然是一个对称性，因此它仍然在 G 中。

但为了使这个公理成立，我们需要对每对 g 和 h 都证明这一点。你可以逐个验证这个情况，但根据定义，对称性是任何保持对象不变的变换。所以如果 g 和 h 是对称的，它们保持对象不变，那么当然，先做 h 然后做 g 也会保持对象不变，因此也是一个对称性。

对称性还遵循一些其他属性，如“结合律”：

如存在一个恒等元：

最后，对称性都有一个逆：

如果一组对象满足这4个条件，它就构成一个群。一个对象的对称性自然地形成一个群。如果给定一组数字或矩阵，比如一开始的复数单位圆，检查该集合是否满足这些属性是很有必要的。在这种情况下，你只需要使用模数相乘，甚至不需要用欧拉公式，

当然，不仅仅是这个圆形成了一个群。旋转矩阵的集合，正交或酉矩阵都是群，

如果你对群不太熟悉，我强烈建议你对这些集合的群公理进行补习。你所需要的只是转置、伴随和行列式的一些其他属性，

总之，群只是李理论的一部分。李群也是流形，那么什么是流形呢？让我们通过一个例子来理解：复数的圆。

这个圆是流形，意思是在它上面的每一点，其邻域基本上看起来像一条线，只是变形了。让我们放大这一点的邻域。

在圆的情况下，这是一个弧，可以平滑地变形为直线。

但同样重要的是，这条线也可以平滑地变回弧。这种双向变形就是我所说的“看起来像一条线”。当然，不仅仅是圆上的这一特定点。每个点都有这样的属性，即邻域看起来像一条线。这就是我们称圆为一维流形（1-dimensional manifold）的原因。

但是还有更高维的流形，道理是一样的。