看图，康托尔，一个26岁的帅气大胡子小伙子变成了一个40岁的秃顶大叔，他都经历了什么？

大家好，我是科学羊🐑，这里是数学专栏第3季第16篇，今天我们继续来谈上篇提到的话题 —— 现代数学研究什么？也在此为大家简单再过一下康托尔的研究。

众所周知，这位大叔，他在40岁的时候出版了一本书，叫《一般集合论基础》。

但之后的数学界就是铺天盖地的攻击跟反对，当时几乎所有的数学家都在抨击他，包括我前段时间写了关于康托尔的数学理论，大部分读者到现在都不认可。

我觉得有两个原因，要不就是我没写清楚，要不就是你不懂数学！

我们先看看数学大师的看法：

比如有人就搬出了20多年前已经去世了的数学王子高斯曾经的笔记，高斯这么写的：我反对把一个无穷量当作实体，数学中从来不允许这么做，无穷只不过是一种语言上的说法而已。这个还属于很轻的反对，更多的反对来自于他的亲朋好友。

康托曾经的导师克罗内克评价集合论是空洞无物，还说康托已经是一个蛇精B人了。

庞加莱很生气说：这是一种“病态”数学！

外尔评价，集合论是雾中之雾，康托从前的至交好友施瓦茨因为反对集合论，结果跟康托都断交了。

像大数学家克莱因，大哲学家维特根斯坦，像他们那样能够不在反对的文章中夹杂着讽刺，或者谩骂，只是理智客观地表达反对意见的人，其实已经算是很客气了。

我们的读者留言大家自行搜索哈，原文《什么？自然数和它的平方数一样多？庞加莱很生气说：这是一种“病态”数学！》

好，我们整理下看看，康托尔做了什么？（大家最好复习上面的链接文章）

康托在研究无穷集合的时候，也就是他所面对的第一道难题，便是探询正整数与实数之间是否能建立起一种完美的一一对应关系。

答案是惊人的：这两者并非完全对等，因为正整数属于可数集，而实数则属于那不可数的领域。

从这个发现出发，康托进一步阐述了几个重要的结论，如所有的代数数都是可数的，任何线段上的实数都是不可数的，以及无穷集合中的可数与不可数之分。

为了使这些抽象的概念更加贴近理解，让我们用一个贴近生活的比喻来揭开有限、可数与不可数的神秘面纱。

图片由AI生成

假如你要猜测我的年龄，尽管这看似一场随机的游戏，但实际上，你只需尝试140次即可，因为人的年龄不可能超越这个极限。

这样，1到140之间的每一个数字都构成了一个有限集合，它们共同组成了一个包含140个可能答案的集合，显示出了有限集合的特性。

那么什么是集合无限可数？

比如问，正多面体一共有多少种？

估计很少人知道答案，我告诉你，它确实有一个数，我们可以猜，比如说2种、3种、4种、5种，等到5的时候，停！猜对了。

正多面体，就是说这一个立体形状中每一个面都是正多边形组成的，这种立体形状才能叫做正多面体。

其实这是一个很严格的条件，很难很难满足。

所以像正5面体，正7面体，9、10、11、13、14、15、16、17，这些正多面体其实都是不存在的。

而我们猜测的这些数字，按照一定顺序推进下去，其实你也不知道它的正确答案是5，但是你按照一个一个数位这么递增下去猜，终归有一个时刻你能猜到正确答案，那我们就可以说，候选答案形成的这个集合是可数的。

补充下：

正多面体，也被称为柏拉图立体，是指所有面都是相同的正多边形，且每个顶点都有相同数量的面相交的多面体。一共有五种正多面体，它们是：

1. 正四面体（Tetrahedron）：由4个等边三角形组成。

2. 正六面体（Cube）：由6个正方形组成，也被称为立方体。

3. 正八面体（Octahedron）：由8个等边三角形组成。

4. 正十二面体（Dodecahedron）：由12个正五边形组成。

5. 正二十面体（Icosahedron）：由20个等边三角形组成。

这五种正多面体是唯一存在的正多面体，因为只有三角形、正方形和正五边形可以满足正多面体的顶点相等条件。

正六边形或更多边的正多边形不能构成正多面体，因为它们在一个顶点处的内角和会超过360度，无法形成封闭的三维形状。

所以说：虽然这个问题的答案不为人所熟知，但它确实存在一个确切的数字。

正多面体这一几何形状的定义是极为严格的，满足条件的形状极为有限，这说明了即使是在无限的范围内，也存在着可以逐一枚举的可数集合。

接下来，康托的思考转向了有理数的可数性。

他提出了一个思考方式：假设有一个问题的答案隐藏在有理数之中，我们是否能够通过一种系统的方法，最终猜中这个答案？

这一思路的成功，进一步证明了有理数的可数性。

然而，当康托的探索触及实数集合的时候，事情变得更加复杂。

他采用了反证法来证明，不存在一个方法可以将所有的实数排列无遗。

通过构造出一个无法通过常规方法找到的特殊小数，康托揭示了实数集的不可数性，这一发现对数学领域产生了深远的影响。

康托的研究不仅仅是数学上的一次革新，更是对无穷概念本身的一次深刻洞察。

他通过集合论的语言，重新定义了无穷的概念，将数学建筑从基础到高层全面构建了起来。

然而，这位数学的先锋并未能得到当时同行的广泛认可。他的集合论遭到了激烈的反对和批评，甚至包括他的导师和好友在内的许多人都对他的理论表示了质疑。

尽管面临着巨大的心理压力，康托的研究在后来被证明是数学领域里程碑式的工作。他的集合论不仅为数学提供了新的理论工具，还拓宽了人类对无穷概念的理解。

希尔伯特曾高度评价康托的集合论，称其为数学天才的最优秀作品，这一评价足以说明康托在数学史上的伟大地位。

从康托的故事中，我们不仅看到了一个数学家对知识的不懈追求，更见证了思想的力量如何超越时代的束缚，开辟出全新的理论领域。

康托的集合论，不仅是对无穷的一种数学描述，更是一场关于思维方式、世界观和数学哲学的深刻变革。

当然这里再提一点，在1902年，32岁的英国数学家罗素给病中的康托写了一封信，康托看信的时候还处于间歇神经分裂症中的清醒的时间，但是看了这个问题之后，又让他睡不着觉了。

因为，此时，第三次数学危机出现了