这里将介绍高等数学应用的两个例子，例1是中学数学和物理里都讲的探照灯设计问题的完善，明确确定：具探照灯性质类仪器只能是由抛物线导出的旋转抛物面！例2是悬链线数学（方程及函数的）模型，它不仅是由来已久的历史名题，多有故事，而且仍具更多现实的实际应用场景！这里，例2问题的数学求解之外，还对悬链线古往今来做了些简介。 

例1探照灯设计问题[1] 平面解析几何中已经指出并证明了：探照灯的反射面设计为旋转抛物面，即抛物线绕对称轴旋转180度所成的曲面，若光源安装在抛物线的焦点处，光线经镜面反射成为平行光线。现在来说明具有这一性质的曲线只有抛物线。

例2 悬链线（Catenary）[1,2] 见下图2，一条完全柔软的质量均匀细线条，固定悬挂在A,B两点，在重力作用下呈平衡状态，其静止状的曲线称为悬链线，这是一个古老的著名数学物理题目。列奥纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）是首先提出悬链线形状问题者，他在绘画《抱银貂的女人》（1490年）时，思索女人脖子上的黑色项链的形状提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂至静止时，项链会形成怎样的曲线？

1690年，荷兰物理学家、数学家、天文学家、发明家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）发给德国著名博学家戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz）的一封信中，首次使用这个名称。第一个研究悬链线的人是意大利伟大的天文学家、物理学家和工程师伽利略，但他错误地将其形状认定为抛物线。 

1691年，莱布尼茨、惠根斯和瑞士数学家约翰·伯努利分别得出了正确的回答。他们都是为了响应瑞士数学家雅各布·伯努利（约翰·伯努利的哥哥）提出的一项挑战，建立了“悬链线”方程，都是应用微积分和物理静力学基本定律做出的。 

约翰·伯努利很高兴，他成功地解决了他哥哥雅各布没能解决的问题。27年后，他在一封信中写道：“我哥哥的努力没有成功。就我而言，我更幸运，因为我发现了这个问题的答案。对于我当时的年龄和经验来说，这是一个巨大的成就。……我满心欢喜地跑到哥哥那里，他一直在苦苦地与这个难题作斗争，却没有任何进展，总是像伽利略一样认为这链（曲）线是一个抛物线。我对他说，不要再折磨自己了，不要再试图用抛物线来寻求悬链的方程了，因为那是完全错误的。”

在伯努利家族里他两兄弟间不止一次相互争强好胜和不断争吵……。而结论“悬挂于两个固定点的绳索（链），在所有可能的形状中，悬链线的重心是最低的，具有最小势能”是哥哥雅各布·伯努利做出来的。 

“等强度悬链线的设计原理”是确保结构在不同位置受力一致。是物理实体，如高压线架设、凹型拉索大桥（或拱门（凸）型建筑）设计的重要依据之，如上得到的悬链线函数（模型），也常被用来估算其两高支架间缆绳最低（高）点处的张力，这里不展开了，有兴趣者可参考文[1]。在（4）第二个等号右边使用的函数，是《微积分学》开篇-函数，必需介绍的双曲函数之双曲余弦。双曲函数，历史上是由德国数学家，约翰·海因里希·朗伯（Johann Heinrich Lambert，1728年8月26日－1777年9月25日）命名引人的函数。他也是继莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利后，对悬链线函数以微积分方法有深入研究的数学家。他还是历史上第一个证明π是无理数，第一位给出三角正弦函作图方法、首位将双曲函数引入三角学研究的数学家。 

在光学和电磁学中，双曲余弦和正弦函数是麦克斯韦方程的基本解，由2个衰减波组合成的对称模式有悬链线形状情况。 

现在，抽象的大模型3D音频波形多含有悬链线特征；自然界的蜘蛛网上随风雨的飘动能自适应的蛛丝形状，呈多个具有弹性的悬链线；达芬奇绘画《抱银貂的女人》（1490年）里女人戴的项链形状几近悬链线形状状……

300多年来，悬链线函数（模型）和双曲函数的研究，在数学、物理和工程等多现实宏观和微观中实为经久衰的课题内容！

△ 复平面上定义的正弦、余弦、双曲正弦、双曲余弦的 3 维图

参考文献： 
[1]东北师范大学微分方程教研室，《常微分方程》[M],北京:高等教育出版社,1988年 

[2]悬链线方程—数学史上的难题之一，伽利略没能求出，难在哪里？ https://www.sohu.com/a/470829176_348129 

[3]神奇的悬链线,

https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=Mzg3MTY2NjY1OA==&mid=2247529963&idx=5&sn=4059fb9929734239e2ae5e15af6e41c3&chksm=cf13c3ea19847ea21651205a2d8f661bdb1baa6600083e3824769834ba62a146301d4548e5f4&scene=27