无理数在不同数学家那里得到了不同的待遇。一方面，对于度量数论、超越数论和丢番图逼近等方向，无理数为核心的研究对象。例如，在丢番图逼近中，人们关注无理数能够被有理数逼近的优劣程度，也关心这样的问题：是否对任意小的正实数 ，总存在不全为零的整数 ，使得 ？另一方面，由于 Bourbaki学派的影响和数学发展的内在需求，很多方向更为重视基于结构所建立的理论体系，上面的问题难以获得这种结构主义价值观的青睐。确实， Bourbaki学派的“发言人” Dieudonné就将判断某些数是否为无理数的问题定位为“胎死腹中”（ stillborn）的问题 [文献1]。

上面的问题为关于无理二次型的 Oppenheim猜想的特殊情形。数论中的 Meyer定理断言：对于正整数 和任意有理系数非退化不定 元二次型 ，存在不全为零的整数 ，使得 。 Oppenheim于 1929年猜想，类似的结论对无理二次型也成立，并在后来将条件减弱为 。猜想的完整陈述为：设 ， 为实系数非退化不定 元二次型，其中某两个非零系数的比值为无理数，则对任意小的正实数 ，存在不全为零的整数 ，使得 。类似的命题对 并不成立 [注释1]。另一方面，通过考虑 适当的有理子空间容易看出，如果 Oppenheim猜想对某个正整数 成立，则它对任意 也成立。利用圆法等解析数论方法，人们证明了 Oppenheim猜想对 成立。但是，对于更小的 ，特别是对最强的 的情况，传统的数论方法一筹莫展。

Oppenheim猜想这一涉及无理数的问题貌似与结构无关，却被 Margulis于 1980年代利用结构数学的工具完整证明。为了解释 Margulis的证明，不妨设 。考虑李群 以及它的两个子群 和 ，其中 为三元二次型 在 中的稳定子群。由线性代数可知：对任意实系数非退化不定三元二次型 ， 存在非零实数 和群元素 使得 ，并且陪集 被 所决定。 Cassels和 Swinnerton-Dyer以及 Raghunathan独立发现了下面的关系：考虑群 在（非紧）齐性空间 上的左平移作用和陪集 所在的轨道 ，则有

· 二次型 的某两个非零系数的比值为无理数的充要条件是：轨道 不是空间 中的闭集；

·二次型 满足 Oppenheim猜想的结论的充要条件是：轨道 是空间 中的无界集，即它的闭包是非紧的。

因此， Oppenheim猜想等价于如下结构味道浓郁的命题：群 在齐性空间 上左平移作用的有界轨道均为闭轨道。 Margulis就是通过证明这一命题，给出了 Oppenheim猜想的完整证明。更详细的讨论可参见 [文献2]。

上面的群 为非紧李群。在 Margulis的证明中，需要关注当 中的群元素趋于无穷远时群作用的渐进性质，即群作用的动力系统行为。由于空间 为齐性空间，人们把相应的动力系统称为齐性动力系统。在 Margulis证明了 Oppenheim猜想以后， 齐性动力系统逐渐发展为一个活跃的研究方向，并且在一些貌似无关的数论问题中得到了出人意料的应用。

注释

1. 容易验证，对不全为零的整数 ，总有 。

文献

1. J. Dieudonné, A Panorama of Pure Mathematics：As Seen by N. Bourbaki, Academic Press, 1982.

2. G. Margulis, Oppenheim Conjecture, in "Fields Medallists' Lectures", 272-327, World Sci. Publ., 1997.

作者简介

安金鹏，现任北京大学数学科学学院教授，主要研究方向是李理论和齐性动力系统 。1997年至2006年在北京大学数学科学学院学习，获学士、博士学位。