英国的教授系统很像中国的干部制度：老同志不退休或双规，后面的讲师甭管多“高级”，也得熬着。英国大学一个系一般只有两到三位教授，现在在美国高校系统影响下，人数略微增加。教授再下一级的职称就是Reader（准教授）和高级讲师了。维特根斯坦1929年重归剑桥，当时去火车站接他的凯恩斯私下跟他老婆说：“上帝来了。”但“上帝”在剑桥熬了十年，才升成教授——那还是因为剑桥的另一位大佬摩尔退休，给维特根斯坦让出位子。维特根斯坦此时已经年届五十了。他的朋友兼学生马尔寇姆第一次见到维特是在1938年，他觉得大师年轻，看上去只有三十五岁左右。其实维特根斯坦是长得少兴（显小——编按），也爱捯饬。男人，甭管啥性取向，臭美不是坏事。1939年，维特根斯坦在焦急地等待着消息：自己是否能被提名为摩尔的继承人。很多人，包括罗素，倾向把维特根斯坦描绘成不食人间烟火的仙人，但面临一个剑桥的教授位置，维特根斯坦也沉不住气，他很担心另一位候选人被提名。正是在这种忐忑心情中，他开讲《数学基础》。这是一门关于数学哲学的课，基本是他转型期的各种思想杂烩。课时是一周两次，每次两个钟头。维特根斯坦回剑桥后，就只坐台不出台——上课只在自己房间，不去教室，来听课的学生自带板凳，要不就坐地板上。“只闻来学，未闻往教”说的就是维特根斯坦。

比维特根斯坦年轻二十三岁的图灵此时二十七岁，是数学系的小字辈。图灵1936年发表了那篇其重要性用任何形容词都不会过分的文章《论可计算的数》，奠定了整个计算机科学和相关所有数学和哲学的基础。但其价值当时并没有显现。图灵的老师纽曼称图灵是“应用数学家”，这有点令人吃惊，因为现在看图灵的工作都是基础性的：逻辑，代数，概率论。但图灵的兴趣确实广泛，而且他解决问题的方式是工程师式的，这点从“图灵机”可看出。这其实也没什么，维特根斯坦不也是工科出身嘛。图灵被纽曼推荐给美国普林斯顿的数学家、逻辑学家阿伦佐·丘奇，丘奇认识到图灵那篇文章的意义，在他主编的《符号逻辑杂志》上写了篇关于图灵1936年文章的评论，丘奇在评论中头一次使用“图灵机”来指图灵发明的装置。后来大家把丘奇和图灵工作的一个推断称为“丘奇-图灵论题”。这个论题（Thesis）断言图灵机就是最强的计算装置。这只是一个工作假设，没法数学地证明，但从实践上看，人类想出来的所有计算装置和逻辑装置，如丘奇的朗姆达演算、Post系统、哥德尔递归函数，都和图灵机等价。也就是说，一帮最聪明的大脑，独立想出来的玩意儿，其实是一回事，英雄所见略同。上世纪五十年代，乔姆斯基发明形式句法后，大家又证明乔姆斯基0型文法和图灵机等价。细想想，从某种意义上，只能例示但不能证明丘奇-图灵论题，恰是唯心和唯物的鸿沟。这是整个计算机理论和人工智能以及若干潜在新学科的起点。

图灵

图灵在丘奇的指导下得了个普林斯顿的博士学位。那时拿美国学位到英国教书是一件稀罕事，大部分的大脑流动是反方向的。图灵回到剑桥申请讲师未遂，只好接着当研究员。1939年学年，图灵要在学校开一门数理逻辑的课程，巧的是他也管这门课叫《数学基础》。他那时是无名小卒，在决定开课时也不知道维特根斯坦也要开一门同名课程，他是在看了学校的课程表后才知道的。于是，图灵决定旁听维特根斯坦的课程，去会会这位大名鼎鼎的大师。故事就从这儿开始了。

维特根斯坦活着的时候，只发表过一本《逻辑哲学论》、一篇文章和一篇文风刻薄的书评。他的十几卷本的文集大部分是死后出版的，内容一方面是维特根斯坦的笔记，另一方面是他几个亲信学生的笔记。维特根斯坦这学期《数学基础》的讲课内容，在他死了二十多年后被他的几个学生整理成了书：《维特根斯坦剑桥数学基础讲义，1939》。这书的大部分内容记录了维特根斯坦的讲课内容，但图灵在课堂上的发问确实是这书中最好玩的部分。它给了我们机会，看看两个聪明人，对他们共同关心的话题是如何斗智斗勇的。顺便寄语一句中青年女读者：维特是金牛座，图灵是巨蟹座。

维特根斯坦的坏脾气众所周知，在剑桥读书时就和老师罗素磕磕碰碰，掐架是家常便饭，从不给人台阶下。摩尔在道德科学俱乐部发表了一篇文章，那时发表论文都叫“宣读论文”（Read a Paper）。刚改革开放那会儿，中国教授特把“宣读论文”当个大事，以至很长一段时间我都以为“宣读”就是“不会说英文”的意思。尽管现在进步了，大家都会使PPT了，但中国官员和学者还是喜欢拿个“小抄”念稿，都是当年“宣读”的流毒。摩尔论文说的是人可以知道自己的感觉。这和维特的观点相左，维特认为知识和确定性无法应用到人的感觉上，用普通话说，就是经验和理性没法联系起来。摩尔宣读论文时，维特那天赶巧不在，第二天听说了摩尔的观点，带着几个学生直奔摩尔的办公室，说你为啥在我不在时妄言与我观点不同的观点，当着各位老少爷们，有种再宣读一遍。摩尔仗着岁数大，而且马上要把教授座位禅让给小维，就真把论文重念了一遍，话音还没落地，维特就一通乱骂，把老摩批得体无完肤，老摩有贵族气，但是秀才遇见兵。维特唾沫星子不停，俩小时。

维特根斯坦和人掐架一般不动手，一次可疑的例外是1947年和卡尔·波普尔。波普尔到剑桥去读篇论文，听众中有罗素和维特根斯坦等人。波普尔和维特根斯坦一言不合，就起了冲突。据说维特根斯坦边说边冲着波普尔挥动手里的拨火棍。大部分当事人早把这事忘了，但事发后，波普尔马上给所有他认识的欧洲哲学家满怀欣喜地写了封信，开头就是：“我被打了，是维特根斯坦打的，地点是在被罗素霸占的牛顿办公室。”大部分哲学家的私生活其实很平淡，闹点八卦不容易。于是一点破事，几十年后还被无聊的貌似有文化的娱乐记者写成书，以讹传讹。任何中国北方人想象的上海男人的缺点，波普尔都有：小肚鸡肠，精明算计。波普尔大概把牛顿办公室当成朝阳公园了。

维特根斯坦

为什么维特根斯坦与波普尔对掐了半个小时，就有人八卦了一本书；而维特根斯坦和图灵智力交锋了一学期，却没人评论？可能是维特与波普尔的对掐有戏剧性、有动作（一个拿着火筷子追另一个），不亚于明星艳照或公知约架。另外波普尔比较会营销，找名人约架自然会抬高自己。现在看起来，微博上这点雕虫小技也是人家玩剩下的。没人关注的另一个原因是学术的。维特根斯坦一生传世之作是《逻辑哲学论》（前期哲学）和死后出版的《哲学研究》（后期哲学）。其实在这两本书之间的转型期，他研究最多的是数学哲学。除了《维特根斯坦剑桥数学基础讲义，1939》和《数学基础评论》之外，其他几本后人整理的著作和谈话录也是以数学哲学为主题。逻辑学家克雷瑟尔（George Kreisel）是维特根斯坦尊重的学生和朋友，也是哥德尔的好友，还是《哥德尔全集》的编委之一。他认为维特根斯坦这期间关于数学哲学的工作是无聊的（Insignificant），浪费了他宝贵的大脑。他这话是五十年代说的，那时，数学中构造主义还没开始流行，计算机科学尚不存在。现在似乎有人主张重新评估维特根斯坦的数学哲学。

维特根斯坦的早期著作喜用格言体，即使《逻辑哲学论》这样严谨的著作也如此。但格言体使得内容被极大地压缩，经常导致歧义性，这反而给那些一点数学都不懂的人提供了诠释的机会。而维特的其他著作，也多是微博体，如“我背着沉重的哲学包袱，爬行在数学的山路上”。这句话，把“哲学”和“数学”代换成其他名词，如“国学”和“佛学”，“代笔”和“抄袭”，“文盲”和“作家”，照样好使。格言体解读起来着实费劲。在《剑桥数学基础讲义》中维特根斯坦就没那么文艺了。对于一个数学家（如图灵），歧义不是什么好事。你来我去的对话，减少了格言体语言的晦涩，它表达的思想，相对于文体，变得更重要。对话的好处是谁也没法装孙子，没有黑话，全直来直去。此时，倒反而是那些可以滔滔不绝就《逻辑哲学论》和《哲学研究》或说三道四或故作深沉的人集体失言，生怕露怯，就像写惯了草书的书法家一笔楷书也不敢写。

下面说几个他们对话的例子。原文太长，枝节繁多。维特根斯坦的授课方式是苏格拉底式的，不备课，也没有讲稿，随着性子来，跑题是常态。这里是我的通俗的、总结性的转述。

关于悖论

维特：说谎者悖论：“我正在说谎”，我没说谎，所以我说谎；我说谎，所以我没说谎。这种车轱辘话，你可以一直说到小脸发青。但这只是个没意义的语言游戏而已。也不知道大家为啥会对这个悖论那么激动。

图灵：让大家困惑的是，一般情况下，有矛盾肯定就是出错了，但在这个例子中，大家不知道哪出错了。

维特：哪也没出错！哪来的危险？

图灵：在实际情况下，桥会塌的。

维特：这里要分清数学矛盾和非数学矛盾。如果桥塌了，那是物理规律出错了。但数学中有矛盾，有什么可怕的？

图灵：如果你不知道你的演算是不是有矛盾，你怎么能信任你的计算结果呢？

维特：哦，那你的意思是说，因为有了说谎者悖论，2乘2就不等于4了，就等于369了，是吗？好，如果如此，那就不能管这叫“乘法”。

图灵：如果没有矛盾，桥不一定会塌，但如果有矛盾，肯定会出错。

维特：但以前还没有因为这事儿出过错呀。

构造性证明

维特：“史密斯画了一个正五边形。”不是一个几何命题，而是一个实验命题，它可能真，也可能假。但是“史密斯画了一个正七边形”是真命题还是假命题？（注：用圆规和直尺画不出一个正七边形或正七角形，这就像尺规不能三等分一个角。）

图灵：毫无疑问，假命题。

维特：那这两句话为什么如此不同呢？也许我们应该换一种说法：“有可能画一个正五边形。”“不可能画一个正七边形。”因为不可能画一个正七边形，所以“史密斯画了正七边形”是一个假命题。图灵的意思是说只借助圆规和直尺不可能画一个正七边形。我们怎么证明一个五边形是正五边形，一种办法是用量角仪和直尺去验证，还有一种办法就是看一下画的过程，画的过程就是一种验证。

图灵：还有其他的原因。

维特：是，那不是唯一的原因，但如果把你的“其他原因”强加到这个过程中，画出来的不是正五边形，我们还能管这个过程叫“画正五边形”吗？当我们说我们不能数学地画一个正七边形时，到底是啥意思？

图灵：就是说我们不能给出一系列画正七边形的指令。

维特：但是一个人真要画出一个正七边形，我们又怎么说？我们说他没有遵照我们的“指令”？数学上证明不可能画出一个正七边形所取得的结论是排除了“画一个正七边形”这一短语，所以“史密斯画了一个正七边形”这句话不是假的，而是无意义的。我们用实验的理由排除了它，尽管“不可能画一个正七边形”这句话不是一个实验的语句。也许我们可以给出指令去画一个正七边形，但这个指令序列是无穷长的。如果说我们可以证明有可能画一个正五边形，我们证明是什么样的可能性？是目的（一个正五边形）还是手段（画这个正五边形的过程）？

图灵：当然是画的过程。碰巧画出来一个，那不算。

实验VS计算

维特：数学家观察到一些规律，然后企图证明这些规律是必然的。这好像同我的观点有些矛盾：数学中的发现其实是发明。当然你可以再问：一个小孩做算术，25乘25等于625，他不过是发现而已，没发明什么。说小孩发明数学事实，是不对的。但我们在此可以做个类比，发现一般是通过做实验。那做算术的小孩是在做实验吗？

图灵：对一个熟悉乘法表的人来说，这不像做实验吗？

维特：计算也有结果，实验也有结果，但这是一回事儿吗？如果结果算错了，咋办？

图灵：如果算错了，那实验应该以不同的方式安排。

维特：哦，你的结果都是安排来的？当规则没有预设必然的结果时，当事先并不知道对错时，这是实验。当然如果你非要在一种更加宽泛的意义下使用“实验”一词，我也拦不住你。

图灵：那我们比较下物理实验和数学计算。一种情况，有个天平，你在一端放砝码，然后找平衡。另一种情况，给你两个数，和一些表（如乘法表），然后你在表里头找结果。

维特：听起来这两种情况蛮像的，但到底像在哪里呢？

图灵：人们都想看看最终会发生什么。

维特：假设人们发明一种新的算术，2加2等于4是这样证明的：拿个天平，在一边先放俩东西，再放俩东西，在另一边放4个东西，如果平了，就证明是对的。那如果你在一边放了两个球，再放两个球，在另一边放四个球，天平没平；你只得在一边再多放一个球，天平突然平了，那是不是2+3=4？如果我们每次做乘法，我们每人都得出不同的结果，那还能管这叫计算吗？

维特：什么是计数？

图灵：如果你想给我们每个人四个小面包，你清点人数，一，二，三，好了，然后你买了十二个，这就是计数。

维特：数出班里有多少人和数出一个五角形有十个交点，是两种不同的计数。前一个不是数学命题，后一个是数学命题。在后一种情况下，你能说：根据定义，五角形有十个交点？

证明复杂性

维特：数学命题都是没有时间因素的，而其他命题（如物理命题）则是有时间因素的。

图灵：那当我说“这个命题很难证明”时，这有时间因素吗？

维特：这句话可以有时间因素，也可以没有时间因素。如果没有时间因素，这句话就是一个数学命题。你说的那个命题可以有一个度量，比如证明那个命题的长度，证明的步数等等，比如说：那个证明需要六十步。但你那句话也可以有时间因素，比如，“现在这个证明需要很多很多步。”这意味着现在没法用更少的步数来证明那个命题，比如，“我现在喝高了，我不能证明那个命题。”那么这句话就不是数学命题。

关于悖论。维特根斯坦总结弗雷格的公理定义：公理有两种意义，一、游戏的规则；二、游戏的开局。但是当两条规则发生矛盾时，该怎么处理呢？比如，如果0不等于0。那么根据魏斯曼（Waisman）的解释，你可以引入新的规则来避免矛盾。维特根斯坦在评论哥德尔不完全性定理时说：矛盾不一定就是有害的。我们语言里有这种东西，并不见得就使语言不可用了，矛盾存在的价值就是它能折磨人。维特根斯坦1939年讲课时说：“如果矛盾是隐藏的，那就无所谓，即使某一天它被暴露了，那也无害。”哥德尔从王浩处听到维特根斯坦对不完全性定理的评价，深不以为然，他说：维特根斯坦要么是真不懂，要么是装不懂，真不知道图灵在和维特根斯坦的讨论中能得到什么。

关于构造性证明。维特根斯坦认为命题的意义就是这个命题的证明，一个命题如果没有证明，就没有意义。而证明又有存在性证明和构造性证明，维特根斯坦对存在性证明不以为然，他常用的例子是n次方程有n个根的存在性证明。一般认为维特根斯坦的数学哲学里有有限主义、构造主义和一部分约定主义，从而是反柏拉图主义的，或反实在论的。但普特南认为维特根斯坦的观点并不是反实在论的，而是一种“常识实在论”。维特在1930年的《哲学评论》中说：“无限序列只是有限序列的无限可能性，而把无限序列当外延那么谈是无意义的。”是拉姆齐教会了维特根斯坦意识到无限的复杂性。

关于“计算VS实验”。维特根斯坦的传记作家蒙克很困惑图灵为什么不直接用图灵机来反驳维特根斯坦呢，图灵机清楚地解释了图灵所说的计算和实验之间的关系。也许图灵认为维特根斯坦并不知道图灵1936年的文章，不愿意反客为主，枉费口舌。而现在的证据表明维特根斯坦在1939年时已读过图灵1936的文章，并且有评论：“那不过是人在计算而已。”当我们设计算法解决问题时，自然认为这是数学手段而不是物理手段，没人关心一个计算机在做矩阵乘法涉及了多少原子运动。当然有人可以说量子图灵机，这个扯远了。

哈特马尼斯（Hartmanis）和斯特恩斯（Stearns），照片拍摄于1963年5月。

关于证明复杂性。哈特马尼斯（Hartmanis）和斯特恩斯（Stearns）1965年在《美国数学会会刊》上发表了“论算法的计算复杂性”一文，奠定了计算复杂性这门新学科的基础。两人为此获得了1993年图灵奖。在计算复杂性中，最著名的问题就是P VS NP问题了，这是由王浩的学生库克（Cook）于1971年提出的，被克雷数学研究所列为七大未解数学难题之首。其中的庞加莱猜想已被神秘的俄罗斯数学家佩雷尔曼证明，剩下的另一个著名难题是黎曼猜想。哈特马尼斯和斯特恩斯在1988年偶然发现了一封哥德尔于1956年3月20日写给冯·诺依曼的信，信中哥德尔明确地指出一个问题的难度可以表达为在图灵机求解该问题所需步骤的函数，这个函数就是算法复杂性。美国计算机协会和欧洲计算机学会于1993年创立哥德尔奖，每年颁发给在计算复杂性领域做出贡献的人。而在维特根斯坦和图灵的上述对话中，貌似维特根斯坦和图灵在1939年就已想到此问题。计算机科学这样年轻的学科，没多少人研究历史。但对于计算复杂性这样的大是大非问题，还是要正本清源。

数学家、科普作家约翰卡斯蒂写过一本科学小说《剑桥五重奏》。注意科学小说（Scientific Fiction）不同于科幻小说（Science Fiction），科幻小说不科学。小说的背景是1949年春夏之交的某一天，那位提出“两种文化”的剑桥教授斯诺，邀请了另外四位剑桥人到家里吃饭喝酒，主要客人是图灵和维特根斯坦，围观的有物理学家薛定谔和遗传学家霍尔丹。聊天的主题是“机器能思维吗”。卡斯蒂了解这五位的立场和观点，尽管这书是虚构，但比那本号称是八卦考证的《维特根斯坦的拨火棍》来得更写实。在卡斯蒂笔下，图灵当然认为机器能思维，薛定谔更加同情图灵，而维特根斯坦则站在图灵的对立面。在《维特根斯坦剑桥数学基础讲义，1939》中，维特在谈到“逻辑机器”时，粗暴地说：根本就没这回事。如果这话是针对图灵机说的，那他真是看走了眼。

维特根斯坦给人留下的印象是对老师不敬（如摩尔，罗素），对同辈戒备（如卡尔纳普），对后辈蔑视。但和图灵的对阵却看出他对图灵少有的尊敬。一般台下的人比台上的人更具进攻性——因为要表白，要搏上位。经常听到的有“请容许我代表亚洲人民”等等，台上的人被问得一愣一愣的。但在图灵-维特对掐中，倒是台上的维特一直在企图向台下的图灵证明什么，想得到图灵的认可。图灵一个小破问题，维特根斯坦的回答都是长篇大论。从中我们似乎看出维特根斯坦可能是满头是汗，而图灵可能面无表情，但是不是想扔鞋就不知道了。

维特根斯坦每次讲完课都精疲力尽，因为他不光讲课，还发火。而且讨论班的授课方式要求注意力格外的集中。散课后，他经常到附近的电影院看场电影，坐第一排，边看电影边啃面包和冷猪排。这学期结束，二次大战爆发，维特根斯坦被正式提名为摩尔的接班人。而图灵则被秘密调入情报部门开始针对德国的密码破译工作，图灵其实没有出现在维特根斯坦的最后几次课中，也没有证据表明他们之间此后发生或保持过任何关系。

维特相信一个人不能同时是大学老师又严肃诚实。他劝他学生去当手艺人而不是搞学术。这话得对那些既不会读书，“活儿”又不好的中国哲学家多说说。哥德尔可能会说维特教的那些东西会把那些本想当公知的人也都教成手艺人了。所有维特根斯坦的学生都被他洗了脑，后来当了老师后，也都学维特的姿势和语气。维特根斯坦对图灵的影响，却看不出来；而图灵对维特根斯坦的影响则有迹可寻。1950年图灵那篇《论计算机与智能》刚发表，重病之中的维特根斯坦已经注意到，他向学生马尔寇姆说：“我还没看呢，但估计那不是闹着玩的。”

维特根斯坦的方法中批评多于构建，批评就是找碴、掐架。他越老，找碴的痕迹越重。哥德尔晚年一次同王浩聊天时，以鄙夷的口气问王浩：维特根斯坦在《逻辑哲学论》后到底干了些啥？哲学家、无神论者丹尼尔·丹尼特（Daniel Dennett）在评价图-维之争时说：“图灵貌似天真，但他给后世留下了计算机，而维特根斯坦呢？他给我们留下了，呃……维特根斯坦。”