SU（5）理论的要点：

   目前的标准模型是描述强相互作用的量子色动力学和描述弱相互作用、电磁相互作用的弱电统一理论。量子色动力学是SU（3）C规范理论，其中下标C指夸克的颜色， 3指的是夸克有3种颜色red、blue、green，这三种夸克形成三重态，作为SU（3）群的基础表示。弱电统一理论是SU（2）L×U（1）Y规范理论，其中L指的是左手场； 2指的是左手中微子和左手电子形成二重态，作为SU（2）群的基础表示；Y指的是弱超荷，满足盖尔曼-西岛关系Q = Y + T3/2（Q为电荷，T3为同位旋第三分量）。标准模型就是在SU（3）C×SU（2）L×U（1）Y框架下的规范理论。SU（5）理论的主要思想就是将SU（3）、SU（2）、U（1）看作SU（5）群的子群，将已知的费米子以及规范玻色子（除引力子外）填充进SU（5）群的表示，使得这些已知的费米子、玻色子（以及它们介导的强、弱、电磁相互作用）在SU（5）的框架下实现统一。

SU（n）群的生成元个数：

     SU（n）群即n行n列的特殊幺正矩阵群，即满足UU+ = U+U = I且detU = 1的n行n列的矩阵U组成的群。任意一个幺正矩阵U可写为U = eiH，由UU+ = U+U = I得到H+ = H。由detU = 1得到TrH = 0。即H为厄米无迹矩阵。所以Hij = Hji*，当i = j时，Hii = Hii*。所以H的对角元为实数，下三角元素可以由上三角元素得到。所以H的独立参数有2n2 ‒ n ‒ n（n ‒ 1）/2*2 ‒ 1 = n2‒ 1个，也就是说，SU（n）群的生成元个数有n2 ‒ 1个。n = 2时，SU（2）群的生成元个数有22 ‒ 1 = 3个。n = 3时，SU（3）群的生成元个数有32 ‒ 1 = 8个。n = 5时，SU（5）群的生成元个数有52 ‒ 1 = 24个。

SU（2）群的生成元：

     SU（2）群的生成元有3个，设为τi（i = 1, 2, 3），则τi满足τi+ = τi，detτi= 0，[τi/2, τj/2] = iεijkτk/2，另外要求满足Tr（τiτj）= 2δij，满足这些条件的τi可以取为泡利矩阵σi。李群李代数中与其他所有生成元都可交换的生成元个数，也就是作为矩阵表示时，对角矩阵的个数，称为该李代数的秩。SU（n）群的秩为n ‒ 1。SU（2）群的秩为1，也就是说有1个对角矩阵生成元，即σ3。

SU（3）群的生成元：

     SU（3）群的生成元有8个，取为盖尔曼矩阵λi（i = 1, 2, …, 8），λi满足λi+ = λi，detλi = 0，[λi/2, λj/2] = ifijkλk/2，Tr（λiλj）= 2δij。SU（3）群的秩为2，也就是说有2个对角矩阵生成元，即λ3和λ8。

SU（5）群的生成元：

     SU（5）群的生成元有24个，取为Ti（i = 1, 2, …, 24），Ti满足Ti+ = Ti，detTi = 0，[Ti/2, Tj/2] = ifijkTk/2，Tr（TiTj）= 2δij。SU（5）群的秩为4，也就是说有4个对角矩阵生成元，即T3、T8、T23、T24 = Y。