导论：比率

Polegomena: Die quantitative Unendlichkeit

比率是质的规定性与量的规定性的统一，是定量与作为其“彼岸”的另一个定量的联系。在比率中，定量实现了对自身的超越，它在一个外于自身的自身中找到了自身。而这种定量之间的关系本身也是大小，表现为三种形态：正比率、反比率和幂比率。

正比率是直接的比率。在定量那里，数目和单位都是定量的环节，至于在比率的环节中，相关联的那两个定量则分别作为数目的值和单位的值。我们通常把比率的关系写作x：y，x和y二者至少有一方被作为单位，另一方作为被单位测量的数目。例如，新华书店里有一款常见的世界地图，它的比例尺是1：35000000，以一般的计算方法来看，地图上一厘米的距离在现实中就是350公里；以数目和单位的视角来看，现实的事物被抽象为1：35000000中的“1”，即“单位一”，而35000000则是与之对应的现实的数目。同时，单位也常常不以“1”的形式出现在比率中，如我国男女性别比例为51.24：48.76，这里面并没有哪一方是“1”。实际上，谁作为单位、谁作为数目是相对而言的。如果一方被认作单位，那另一方就必然成为被单位设定起来的数目，且其中之一的量发生变化，另一方一定随着前者，按照固定的比率增减，因此我们称之为正比率。

作为比率的两方，单位和数目都是不完满的定量，它们的规定性有待结合起来。把二者结合起来的那种完满的东西，就是比率的系数。系数就是经过运算的比率的值，在特定的比率中保持固定不变，表现为正比率即x：y=k。系数是结合了两个定量的界限，同时它自己也是一个定量，具有大小，因此以数目的形式表现出来。

然而，正比率的系数实际也是不完满的。系数作为正比率中两个定量相除运算的商，要么具有数目的值，要么具有单位的值，不能二者皆有。在上面关于男女比例的例子中，比例系数要么是以男性人口为“单位一”而计算出的女性人口的值，要么反过来以女性人口为“单位一”；在关于地图比例尺的例子中，系数要么是地图中某一距离代表的实际距离，要么是现实中某一距离表现在地图上的距离。因此，正比率的系数只是针对两个定量的其中一个而言的，而另一种比率——反比律，则作为两个定量的乘积实现了完满。

与正比率中两个定量一起增减不同，反比率中两个定量朝着相反的方向变化，一个增加另一个就减少。在生活中我们常见到一种反比率的情况，即分组：假设一个班有24名学生，老师要将他们分为不同的小组，就可以分为每组三人共八组、每组四人共六组、每组六人共四组等情况。每组人数越多，小组的数量越少，足以体现反比率的性质。在这个例子中，比例系数是全班总人数，且体现为每组人数与小组数量的乘积，这显然是个由“单位一”和数目统一而来的定量。由此可见，作为乘积，指数首先是直接的或固定的定量，但它又具有质的性质。在反比率中，量的变化始终保持在比率中，被系数所规定，不论两个定量如何变化，最终都要在系数中统一起来。因此，系数可以看作反比率的界限，是质对量的规约。

对于反比率中的两个定量来说，系数是一个不可到达的界限。两个定量此消彼长，在它们变化的过程中，可以无限趋近于系数，却不能真正地与系数等同。因此，系数是两个定量的“彼岸”，两个定量趋近于系数的无限性是坏的无限，是有限的无限，因为不可触及的系数作为界限，永远不会被扬弃。

虽然反比率的系数体现了质的特征，但它仍直接地作为定量。在最后一种比率中，比例系数终于变为完全的质，抛弃了量的特点，这就是“方幂比率”。在方幂比率中，定量是自身关系，以自身为他物而与自身相关联。方幂比率的系数就是指数，表现为mk=n，即m经过k次自乘而得到n。首先，作为方幂比率的两个定量，m和n之间的关系是定量的自身关系，而不再是数目与单位的关系。其次，方幂比率的系数作为界限，并不是将两个定量限制起来或隔绝开来，而是作为它们的延续，实现定量的过渡。3米的长度经过乘方运算后不是9米、27米，而是9平方米、27立方米，可见方幂比率的系数或指数不但实现了定量中数目与单位的统一，还将定量过渡到别的阶段。在“米”变化为“平方米”“立方米”的过程中，以前作为单位的“米”的外在规定性被扬弃了，发生了质的变化，继而被赋予新的外在性；定量的数目也随之变化，在新的单位中延续下去。因此，方幂比率建立起了自己的区别，将定量的质融入外在规定性中。

我们可以看到，量通过比率的环节，反而转向的它的彼物，即质。这个转变看似生硬，实则有其内在的依据。量作为扬弃了的外在规定性，可以说本身也是一种质；而质作为规定性的开端，必然要发展到量的无规定性与不相关性之中。因此，这里发生了两次过渡，第一次是质过渡为量，第二次是量过渡为质。第二次过渡的结果不再是单纯作为规定性的质，而是质与量的统一，即尺度。