美国华裔教授专家网

SCHOLARSUPDATE.HI2NET.COM

The Chinese American Professors and Professionals Network

banner

“车轮悖论”是什么?为何困扰数学界几百年?简单的轮子蕴藏了深刻的奥秘!

2024-07-06,阅读:41


「封面图」- 测试车轮悖论的实验工具🔧


大家好,我是科学羊🐑,经过前几天复杂的应用数学问题之后我们接下来回到轻松的话题再聊聊。

“车轮悖论”,也被称为“同心圆悖论”,这是由古希腊哲学家、科学家和教育家亚里士多德在《论机械》(Mechanica)中提出的一个让许多数学家感到困惑的谜题:

假设有2个同心圆,一个是车轮,一个车轴,那么当车轮沿水平线滚动一圈时,这两个圆的底部会移动相同的距离,这究竟是为什么呢?


请看这个动图:

再来看一个:

发现问题了吧!

九年义务教育告诉我们半径R大的周长肯定比半径r小的周长颗肯定要长,那你怎么解释这两个圆却走出了同样的距离呢?

在刚性车轮的悖论中,四个同心圆看似都完成了一个旋转,它们沿着四条线段从左向右移动。

由于这些线段长度相等,人们自然会推测出所有圆的周长也应当相同,是吧?

然而,这个结论显然是不正确的,甚至一个蹒跚学步的孩子也能一眼看出问题。

那么,问题到底出在哪里呢?

这里有一个关键假设:刚性的车轮确实做了一个完整的转动。

为了更好地理解这一点,您不妨停下来,拿起笔和纸,亲自试一试。或者和孩子一起动手试试!当你准备好了,再继续往阅读。

回到主题。

在深入解决这个有趣的悖论之前,先让我们回到过去,了解一下亚里士多德之轮的起源。

其实,这个问题来源于亚里士多德的《力学》,这本著作包含了各种数学和哲学问题的简短集合,虽然不知道是不是当年大家一起写的,但为了给个著作权所以被传统上认为是亚里士多德的作品。

机械师: 右边的图是亚里士多德的车轮!

在《力学》中,"问题24" 提到了如下描述的车轮:

(注意下面这段话无需细看,了解即可!)

“让我们设想有一个较大的圆ΔZΓ和一个较小的圆EHB,它们的中心都在A点;设ZI是较大圆展开的直线,HK是较小圆展开的直线,且等于ZΛ。当我移动较小的圆时,我也同时移动它们的中心A,并让较大的圆与之连接。当AB垂直于HK时,同时AΓ也垂直于ZΛ,因此它们总是完成相等的距离,即HK对应于较小圆的周长HB,ZΛ对应于较大圆的周长ZΓ。如果四分之一圆展开的距离相等,那么显然整个圆展开的距离也会相等,因此当BH到达K时,周长ZΓ等于ZΛ,整个圆会被展开。以同样的方法,当我移动较大的圆并使较小的圆与之契合时,它们的中心相同,AB与AΓ同时垂直,后者垂直于ZI,前者垂直于HΘ。因此,当一个完成等于HΘ的直线时,另一个完成等于ZI的直线,ZA再次垂直于ZΛ,HA再次垂直于HK,因此它们将回到起始时的Θ和I状态。”

尽管这段话可能有些难以理解,但要点已经在开头提到了。

为了更直观地理解这个悖论,我们来看看两个模仿亚里士多德的车轮悖论木制拼图制作的动画。


动画来自网络

在第一个动画中,当内圈圆嵌在一个半径更大的外圈圆上,它从左向右滑动。请注意,当它移动时,尺子粗略地测量了两个整体之间的距离:从2厘米到6厘米。

动画来自网络

第二个动画,我们去掉大圆,只展示了滑动内圆。当它从左边移动到中心时,尺子粗略地描绘出了第一个动画中显示的相同距离(从2厘米到6厘米)。

奇怪不,那么,问题出在哪呢?

图中所示的车轮在从P1移动到P2的过程中进行了一个完整的旋转。那么,如何解决这个悖论呢?

伽利略对此进行了独创性的分析,他的方法如下:

假设我们用两个正方形的轮子代替两个圆形的轮子。当大轮子在转角处旋转来完成四分之一的转动时,小轮子才会在转动时离开原来的位置。

所有这些小部分移动加起来,并给内轮额外的水平位移。

对于边数较多的多边形车轮,小车轮在旋转时执行许多较小的跳跃。同样,这些较小的跳跃达到顶点的内轮的额外位移沿轨道。

在圆形车轮的极限情况下,这相当于小车轮在转动时向前滑动。

在现代数学中,这个悖论的解答可以通过“滚动而不滑动”的概念来理解。


当两个圆相互接触且滚动时,它们的接触点在每个瞬间都有相同的线速度。

但是,因为外圆的周长比内圆大,所以内圆的每个点都必须滑动一些才能与外圆保持同步。

这意味着内圆的实际运动距离小于外圆,因此它们的周长并不相等。

亚里士多德的车轮悖论不仅在数学上引人入胜,也在哲学上引发了许多思考。

它挑战了我们对空间、运动和几何关系的直觉理解。这种悖论展示了我们的日常经验和数学理论之间的矛盾,使我们重新审视这些基本概念。

结语

亚里士多德的车轮悖论提醒我们,即使是看似简单的问题也可能包含深刻的复杂性。


最后,感兴趣的朋友可以看看B站的这个视频,如果文字写的不清楚,直接看这位大佬的视频就懂了,有更详细的实验过程:

https://www.bilibili.com/video/BV1ah411A7pK/?vd_source=db7302203989bbe3f44cdd9ea6a8ff5c




Scholars-Net is a 501(c)(3) non-profit organization. Check payable to CAPPA, P.O. Box 236, Barstow, CA 92312, or direct deposit to Cathay Bank, 9121 Bolsa Ave., Westminster, CA 92683. Account number: 0005479070

返回